LeetCode 出界的路径数（动态规划）

给定一个 m × n 的网格和一个球。球的起始坐标为 (i,j) ，你可以将球移到相邻的单元格内，或者往上、下、左、右四个方向上移动使球穿过网格边界。但是，你最多可以移动 N 次。找出可以将球移出边界的路径数量。答案可能非常大，返回 结果 mod 10⁹ + 7 的值。

示例 1：

输入: m = 2, n = 2, N = 2, i = 0, j = 0
输出: 6
解释:

示例 2：

输入: m = 1, n = 3, N = 3, i = 0, j = 1
输出: 12
解释:

说明:

球一旦出界，就不能再被移动回网格内。
网格的长度和高度在 [1,50] 的范围内。
N 在 [0,50] 的范围内。

思路分析： 使用三位数组 dp[i][j][k] 表示从(i, j)开始在k步内移除边界的路径数。对于每个[i, j, k]尝试上下左右四个方向进行移动。

如果下一步出界，则dp[row][col][k] += 1;
否则 dp[row][col][k] = (dp[row][col][k] + dp[nextRow][nextCol][k-1]) % mod;//从[row, col]移动到[nextRow, nextCol]需要花费一步

class Solution {
public:
    int findPaths(int m, int n, int N, int i, int j) {
        int mod = 1000000007;
        vector<pair<int, int>> dirs = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};//上下左右四个移动方向
        vector<vector<vector<int>>> dp(m, vector<vector<int>>(n, vector<int>(N + 1, 0)));//dp[i][j][k]表示从(i, j)开始在k步内移除边界的路径数. 
        for (int k = 1; k <= N; ++k){
            for (int row = 0; row < m; ++row){
                for (int col = 0; col < n; ++col){
                    //对四个方向进行尝试移动
                    for (auto &dir : dirs){
                        int nextRow = row + dir.first;
                        int nextCol = col + dir.second;
                        if(nextRow < 0 || nextRow >= m || nextCol < 0 || nextCol >= n){//出界
                            dp[row][col][k] += 1;
                        }
                        else{
                            //转移方程从[row, col]移动到[nextRow, nextCol]需要花费一步
                            dp[row][col][k] = (dp[row][col][k] + dp[nextRow][nextCol][k-1]) % mod;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[i][j][N];
    }
};