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BZOJ3669: [Noi2014]魔法森林(瓶颈生成树 LCT)

程序员文章站 2022-05-08 23:10:01
Description 为了得到书法大家的真传,小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图,节点标号为1..N,边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1,隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林,才能够拜访到隐士。 魔法森林中居住了一些妖怪。 ......
Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 3558  Solved: 2283
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Description

为了得到书法大家的真传,小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图,节点标号为1..N,边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1,隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林,才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候,这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是,在号节点住着两种守护精灵:A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量,达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵,妖怪们就不会发起攻击了。具体来说,无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai,且B型守护精灵个数不少于Bi,这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击,他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事,小E想要知道,要能够成功拜访到隐士,最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M,表示无向图共有N个节点,M条边。 接下来M行,第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi,描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号,Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

 

Output

输出一行一个整数:如果小E可以成功拜访到隐士,输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数;如果无论如何小E都无法拜访到隐士,输出“-1”(不含引号)。

 

 

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17





【输入样例2】


3 1
1 2 1 1



Sample Output

【输出样例1】

32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4,需要携带19+15=34个守护精灵;
如果小E走路径1→3→4,需要携带17+17=34个守护精灵;
如果小E走路径1→2→3→4,需要携带19+17=36个守护精灵;
如果小E走路径1→3→2→4,需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述,小E最少需要携带32个守护精灵。



【输出样例2】


-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点,故输出-1。

HINT

2<=n<=50,000

0<=m<=100,000

1<=ai ,bi<=50,000

Source

 

首先考虑只有一维的情况,很明显是最小生成树

二维的情况可以由一维的情况拓展而来。

对$a_i$进行排序,每次加入加入这条边,判断是否会形成环,若不会形成环那就加进去

如果会形成环那就把环上$b_i$最大的那条边删掉

这个过程很显然可以用LCT维护

注意如果图联通,我们就需要更新答案。

很显然,我们在枚举了$a_i$的同时保证了$b_i$最小,因此这样是正确的

其实SPFA跑的比LCT快

 

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
const int INF = 1e9 + 10, MAXN = 2 * 1e5 + 10;
using namespace std;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, M;
struct Edge {
    int u, v, a, b;
    bool operator < (const Edge &rhs) const  {
        return a < rhs.a;
    }
}E[MAXN];
#define ls(x) ch[x][0]
#define rs(x) ch[x][1]
int fa[MAXN], ch[MAXN][2], Mx[MAXN], val[MAXN], rev[MAXN];
void connect(int x, int _fa, int opt) {fa[x] = _fa; ch[fa[x]][opt] = x;}
bool ident(int x) { return ch[fa[x]][0] == x ? 0 : 1;}
bool  isroot(int x) { return ch[fa[x]][0] != x && ch[fa[x]][1] != x;}
void update(int x) {
    if(val[x] > val[Mx[ls(x)]] && val[x] > val[Mx[rs(x)]]) Mx[x] = x;
    else Mx[x] = val[Mx[ls(x)]] > val[Mx[rs(x)]] ? Mx[ls(x)] : Mx[rs(x)];
}
void pushdown(int x) {
    if(!rev[x]) return ;
    rev[ls(x)] ^= 1; rev[rs(x)] ^= 1;
    swap(ls(x), rs(x));
    rev[x] = 0;
}
void push(int x) {
    if(!isroot(x)) push(fa[x]);
    pushdown(x);
}
void rotate(int x) {
    int Y = fa[x], R = fa[Y];
    int Yson = ident(x), Rson = ident(Y);
    int B = ch[x][Yson ^ 1];
    fa[x] = R;
    if(!isroot(Y)) connect(x, R, Rson);
    connect(Y, x, Yson ^ 1);
    connect(B, Y, Yson);
    update(Y); update(x);
}
void splay(int x) {
    push(x);
    for(int y = fa[x]; !isroot(x); rotate(x), y = fa[x])
        if(!isroot(y))
            ident(y) == ident(x) ? rotate(x) : rotate(y);
}

void access(int x) {
    for(int y = 0; x; x = fa[y = x]) 
        splay(x), ch[x][1] = y, update(x);
}
int findroot(int x) {
    access(x); splay(x);
    pushdown(x);
    while(ls(x)) pushdown(x = ls(x)); 
    return x;
}
void makeroot(int x) {
    access(x);
    splay(x);
    rev[x] ^= 1;
    pushdown(x);
}
void link(int x, int y) {
    makeroot(x);  
    if(findroot(y) != x) fa[x] = y;
}
void cut(int x, int y) {
    makeroot(x);
    if(findroot(y) == x && fa[x] == y && !rs(x) && ls(y) == x)
        fa[x] = ls(y) = 0,
        update(y);
}
void add(int id, int x, int y, int b) {
    if(findroot(x) != findroot(y)) {
        link(x, id); link(id, y);
        val[id] = b; return ;
    }
    makeroot(x); access(y); splay(y);
    int Maxval = val[Mx[y]];
    if(Maxval <= b) return ;
    int t = Mx[y];
    cut(t, E[t - N].u); 
    cut(E[t - N].v, t);
    link(x, id); link(id, y);
    val[id] = b;
}
main() { 
#ifdef WIN32
    freopen("a.in", "r", stdin);
#endif
    N = read(); M = read();
    for(int i = 1; i <= M; i++) {
        int x = read(), y = read(), ta = read(), tb = read();
        E[i] = (Edge){x, y, ta, tb};
    }
    sort(E + 1, E + M + 1);
    int ans = INF;
    for(int i = 1; i <= M; i++) {
        add(i + N, E[i].u, E[i].v, E[i].b);
        if(findroot(1) != findroot(N)) continue;
        makeroot(N); access(1); splay(1);
        ans = min(ans, E[i].a + val[Mx[1]]);
    }
    printf("%d\n", ans == INF ? -1 : ans);
}