指数平滑预测--单指数模型

    前言：2018年华为软赛初赛已经结束，很高兴我们团队取得西北赛区36强的成绩。最近我会在博客上介绍我们使用过的预测方法，首先是指数平滑模型，指数平滑模型是简单高效的预测模型（分数高），我们主要使用的二次指数平滑和三次指数平滑，按7天进行数据加和，来预测短期数据。

    时间序列预测方法的基本思想是：预测一个现象的未来变化时，用该现象的过去行为来预测未来。即通过时间序列的历史数据揭示现象随时间变化的规律，将这种规律延伸到未来，从而对该现象的未来作出预测。它的重要分支指数平滑法是由早期的移动平均法发展而来的。

    指数平滑预测法是一种确定性的平滑预测法。其实质是：通过计算指数平滑平均数来平滑时间序列，消除历史统计序列中的随机波动，以找出其主要发展趋势。根据设置参数的不同可以分为单指数预测、双指数预测和三指数预测。其中，单指数具有一个参数，适合于具有平稳性特征时间序列的预测，也称为平稳性预测。双指数预测具有两个参数，适合于具有趋势性特征时间序列的预测，也称为趋势性预测。三指数预测具有三个参数，适合于具有趋势和季节性或周期性特征时间序列的预测，也称为季节性或周期性预测。指数平滑的三种预测方法中，预测曲线拟合程度的好坏与预测结果的准确度有关，而预测曲线的拟合程度与设定的参数值有直接关系。所以，参数的好坏非常重要。

    指数平滑是当前产生平滑时间序列的一种比较流行的方法，也是画拟合曲线的一种方法，同时还可以对未来进行预测。指数平滑预测方法的基本思想是在预测下一周期的指标的同时，既考虑这个周期的指标，又不忘记前面的指标。在移动平均方法中，对每个数据赋予相同的权重，而指数平滑可以根据参数对数据赋予不同的权重，这样就可以获得更好的拟合曲线和预测结果。

    单指数模型

    单指数平滑具有一个平滑参数，适合对具有平稳特性的时间序列数据进行拟合和预测，其中数据的平稳特性是指数据的变化波动不大。

    （1）平滑公式

    用表示实际点的数据值，表示平滑点的数据值，对于序列中任一时刻点t，平滑值的平滑计算公式如式（1-1）所示：

        （1-1）

    （2）初始化

    单指数平滑的起始平滑点是，一般有两种方法进行初始化。一种方法是，另一种方法是取实际点的前四个或者前五个的平均值。

    （3）预测公式

    t+1序列时刻单指数平滑公式如式（1-2）所示：

        （1-2）

    t+i序列时刻单指数平滑公式如式（1-3）所示：

        （1-3）

式中i表示是经过的时刻点，也表示超前预测时刻。

    下面对平滑公式进行扩展，用基本的平滑公式代替，如式（1-4）所示：

        （1-4）

然后，接着替代，，如此递归，直到，这样就可以得到式（1-5），如下所示：

        （1-5）

    比如，当t=5时，如式（1-6）所示：

        （1-6）

    权重呈几何递减，所以较早数据的权重较小，所起的作用也就越小，这也是为什么将指数平滑方法称为指数平滑的原因所在。

    （4）二次指数平滑模型

    在一次指数平滑预测公式中，无论是一步预测还是多步预测都使用同一公式，这对没有趋势的稳定序列是可行的。但是，若是用在上升或是下降趋势明显的需求序列上就不够理想。二次指数平滑就是为弥补这种缺陷而设计的一种方法，但它不是直接用于序列预测的方法，而是为计算有线性趋势的线性预测方程的系数服务的。

    所谓二次指数的平滑方法，是对一次指数平滑后的序列数据再作一次指数平滑，其平滑公式如下式（2-1）所示：

        （2-1）

式中，是二次指数平均值，为平滑常数。

    同一次指数平滑公式一样，在使用二次指数平滑公式时，也涉及初始值的取法。但随着时间的推移，初始值的影响是很小的。其取法与一次指数平滑的取法相似。

    由于时间序列具有线性趋势，故设线性预测方程如式（2-2）所示：

        （2-2）

式中称为预测时效，由指数平滑方法的基本定理有下式：

        （2-3）

    由此得到预测公式如式所示：

        （2-4）

    数值实验证明，用二次指数平滑公式进行预测时，除序列的转折点外，其它点的预测精度都比一次指数平滑的预测精度高。此外，使用二次指数平滑进行预测会产生滞后误差的问题。

//二次指数平滑
int ExponentialSmoothing(double x[], int len, int pre_time)
{
	double weight = 0.912;
	double at = 0.0;
	double bt = 0.0;

	double* onetime_pre = (double *)malloc(len * sizeof(double));
	double* twotime_pre = (double *)malloc(len * sizeof(double));
	double *y=(double *)malloc(pre_time*sizeof(double));
	memset(onetime_pre, 0, len * sizeof(double));
	memset(twotime_pre, 0, len * sizeof(double));
	memset(y,0,pre_time*sizeof(double));
	//一次指数平滑
	onetime_pre[0] = x[0]; //init
	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		onetime_pre[i] = weight * x[i] + (1 - weight) * onetime_pre[i - 1];
	}
	//二次指数平滑
	twotime_pre[0] = (onetime_pre[0] + onetime_pre[1] + onetime_pre[2]) / 3; //init
	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		twotime_pre[i] = weight * onetime_pre[i] + (1 - weight) * twotime_pre[i - 1];
	}

	//计算截距和斜率
	at = 2 * onetime_pre[len -1] - twotime_pre[len - 1];
	bt = weight / (1 - weight) * (onetime_pre[len - 1] - twotime_pre[len - 1]);
	//printf("at = %f\n", at);
	//printf("bt = %f\n", bt);
	for (int T = 0; T < pre_time; T++)
	{
		y[T] = at + bt * (T + 1);
	}
	double result=sumAllVectord(y,pre_time);
	if(result<0) result=0;
	free(onetime_pre);
	free(twotime_pre);
	free(y);
	return floor(result);
}

    （5）三次指数平滑模型

    当观察值分布出现曲率时，一般情况下二次指数平滑不再适用，要用三次指数平滑法，即非线性预测模型。三次指数平滑是将二次指数平滑值再进行一次系数平滑，如式（3-1）所示：

        （3-1）

    三次指数平滑非线性模型预测公式如式（3-2）所示：

        （3-2）

系数为：

        （3-3）

在历史数据出现曲率时，三次指数平滑模型预测值较二次指数平滑模型更加准确。

int ExponentialSmoothing(double x[], int len, int pre_time){
	double weight = 0.6;
	double at = 0.0;
	double bt = 0.0;
	double ct = 0.0;
	double* onetime_pre = (double *)malloc(len * sizeof(double));
	double* twotime_pre = (double *)malloc(len * sizeof(double));
	double* threetime_pre = (double *)malloc(len * sizeof(double));
	double *y=(double *)malloc(pre_time*sizeof(double));
	memset(onetime_pre, 0, len * sizeof(double));
	memset(twotime_pre, 0, len * sizeof(double));
	memset(threetime_pre, 0, len * sizeof(double));
	memset(y,0,pre_time*sizeof(double));
	//一次指数平滑
	onetime_pre[0] = x[0]; //init
	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		onetime_pre[i] = weight * x[i] + (1 - weight) * onetime_pre[i - 1];
	}
	//二次指数平滑
	twotime_pre[0] = (onetime_pre[0] + onetime_pre[1] + onetime_pre[2]) / 3; //init
	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		twotime_pre[i] = weight * onetime_pre[i] + (1 - weight) * twotime_pre[i - 1];
	}
	//三次指数平滑
	threetime_pre[0] = (twotime_pre[0] + twotime_pre[1] + twotime_pre[2]) / 3; //init
	for (int i = 1; i < len; i++)
	{
		threetime_pre[i] = weight * twotime_pre[i] + (1 - weight) * threetime_pre[i - 1];
	}
	//计算截距和斜率
	at = 3 * onetime_pre[len -1] - 3 * twotime_pre[len - 1] + threetime_pre[len - 1];
	bt = weight / (2 * (1 - weight) * (1 - weight)) * ((6 - 5 * weight) * onetime_pre[len - 1] - 2 * (5 - 4 * weight) * twotime_pre[len - 1] + (4 - 3 * weight) * threetime_pre[len - 1]);
	ct = (weight * weight) / (2 * (1 - weight) *(1 - weight)) * (onetime_pre[len - 1] - 2 * twotime_pre[len - 1] + threetime_pre[len - 1]);
	//printf("at = %f\n", at);
	//printf("bt = %f\n", bt);
	for (int T = 0; T < pre_time; T++)
	{
		y[T] = at + bt * (T + 1) + ct * (T + 1) * (T + 1);
	}
	double result=sumAllVectord(y,pre_time);
	if(result<0) result=0;
	free(onetime_pre);
	free(twotime_pre);
	free(threetime_pre);
	free(y);
	return floor(result);
}