欢迎您访问程序员文章站本站旨在为大家提供分享程序员计算机编程知识!
您现在的位置是: 首页  >  IT编程

python实现三次样条插值

程序员文章站 2023-10-28 09:17:28
本文实例为大家分享了python实现三次样条插值的具体代码,供大家参考,具体内容如下 函数: 算法分析 三次样条插值。就是在分段插值的一种情况。 要求:...

本文实例为大家分享了python实现三次样条插值的具体代码,供大家参考,具体内容如下

函数:

python实现三次样条插值

算法分析

三次样条插值。就是在分段插值的一种情况。

要求:

  • 在每个分段区间上是三次多项式(这就是三次样条中的三次的来源)
  • 在整个区间(开区间)上二阶导数连续(当然啦,这里主要是强调在节点上的连续)
  • 加上边界条件。边界条件只需要给出两个方程。构建一个方程组,就可以解出所有的参数。

这里话,根据第一类样条作为边界。(就是知道两端节点的导数数值,然后来做三次样条插值)

但是这里也分为两种情况,分别是这个数值是随便给的一个数,还是说根据函数的在对应点上数值给出。

情况一:两边导数数值给出

这里假设数值均为1。即 f′(x0)=f′(xn)=f′(xn)=1的情况。

情况一图像

python实现三次样条插值

情况一代码

import numpy as np
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt


def f(x):
 return 1 / (1 + x ** 2)


def cal(begin, end, i):
 by = f(begin)
 ey = f(end)
 i = ms[i] * ((end - n) ** 3) / 6 + ms[i + 1] * ((n - begin) ** 3) / 6 + (by - ms[i] / 6) * (end - n) + (
  ey - ms[i + 1] / 6) * (n - begin)
 return i


def ff(x): # f[x0, x1, ..., xk]
 ans = 0
 for i in range(len(x)):
 temp = 1
 for j in range(len(x)):
  if i != j:
  temp *= (x[i] - x[j])
 ans += f(x[i]) / temp
 return ans


def calm():
 lam = [1] + [1 / 2] * 9
 miu = [1 / 2] * 9 + [1]
 # y = 1 / (1 + n ** 2)
 # df = diff(y, n)
 x = np.array(range(11)) - 5
 # ds = [6 * (ff(x[0:2]) - df.subs(n, x[0]))]
 ds = [6 * (ff(x[0:2]) - 1)]
 for i in range(9):
 ds.append(6 * ff(x[i: i + 3]))
 # ds.append(6 * (df.subs(n, x[10]) - ff(x[-2:])))
 ds.append(6 * (1 - ff(x[-2:])))
 mat = np.eye(11, 11) * 2
 for i in range(11):
 if i == 0:
  mat[i][1] = lam[i]
 elif i == 10:
  mat[i][9] = miu[i - 1]
 else:
  mat[i][i - 1] = miu[i - 1]
  mat[i][i + 1] = lam[i]
 ds = np.mat(ds)
 mat = np.mat(mat)
 ms = ds * mat.i
 return ms.tolist()[0]


def calnf(x):
 nf = []
 for i in range(len(x) - 1):
 nf.append(cal(x[i], x[i + 1], i))
 return nf


def calf(f, x):
 y = []
 for i in x:
 y.append(f.subs(n, i))
 return y


def nfsub(x, nf):
 tempx = np.array(range(11)) - 5
 dx = []
 for i in range(10):
 labelx = []
 for j in range(len(x)):
  if x[j] >= tempx[i] and x[j] < tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
  elif i == 9 and x[j] >= tempx[i] and x[j] <= tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
 dx = dx + calf(nf[i], labelx)
 return np.array(dx)


def draw(nf):
 plt.rcparams['font.sans-serif'] = ['simhei']
 plt.rcparams['axes.unicode_minus'] = false
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 plt.plot(x, y, label='原函数')
 plt.plot(x, ly, label='三次样条插值函数')
 plt.xlabel('x')
 plt.ylabel('y')
 plt.legend()

 plt.savefig('1.png')
 plt.show()


def losscal(nf):
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 ly = np.array(ly)
 temp = ly - y
 temp = abs(temp)
 print(temp.mean())


if __name__ == '__main__':
 x = np.array(range(11)) - 5
 y = f(x)

 n, m = symbols('n m')
 init_printing(use_unicode=true)
 ms = calm()
 nf = calnf(x)
 draw(nf)
 losscal(nf)

情况二:两边导数数值由函数本身算出

这里假设数值均为1。即 f′(xi)=s′(xi)(i=0,n)f′(xi)=s′(xi)(i=0,n)的情况。

情况二图像

python实现三次样条插值

情况二代码

import numpy as np
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt


def f(x):
 return 1 / (1 + x ** 2)


def cal(begin, end, i):
 by = f(begin)
 ey = f(end)
 i = ms[i] * ((end - n) ** 3) / 6 + ms[i + 1] * ((n - begin) ** 3) / 6 + (by - ms[i] / 6) * (end - n) + (
  ey - ms[i + 1] / 6) * (n - begin)
 return i


def ff(x): # f[x0, x1, ..., xk]
 ans = 0
 for i in range(len(x)):
 temp = 1
 for j in range(len(x)):
  if i != j:
  temp *= (x[i] - x[j])
 ans += f(x[i]) / temp
 return ans


def calm():
 lam = [1] + [1 / 2] * 9
 miu = [1 / 2] * 9 + [1]
 y = 1 / (1 + n ** 2)
 df = diff(y, n)
 x = np.array(range(11)) - 5
 ds = [6 * (ff(x[0:2]) - df.subs(n, x[0]))]
 # ds = [6 * (ff(x[0:2]) - 1)]
 for i in range(9):
 ds.append(6 * ff(x[i: i + 3]))
 ds.append(6 * (df.subs(n, x[10]) - ff(x[-2:])))
 # ds.append(6 * (1 - ff(x[-2:])))
 mat = np.eye(11, 11) * 2
 for i in range(11):
 if i == 0:
  mat[i][1] = lam[i]
 elif i == 10:
  mat[i][9] = miu[i - 1]
 else:
  mat[i][i - 1] = miu[i - 1]
  mat[i][i + 1] = lam[i]
 ds = np.mat(ds)
 mat = np.mat(mat)
 ms = ds * mat.i
 return ms.tolist()[0]


def calnf(x):
 nf = []
 for i in range(len(x) - 1):
 nf.append(cal(x[i], x[i + 1], i))
 return nf


def calf(f, x):
 y = []
 for i in x:
 y.append(f.subs(n, i))
 return y


def nfsub(x, nf):
 tempx = np.array(range(11)) - 5
 dx = []
 for i in range(10):
 labelx = []
 for j in range(len(x)):
  if x[j] >= tempx[i] and x[j] < tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
  elif i == 9 and x[j] >= tempx[i] and x[j] <= tempx[i + 1]:
  labelx.append(x[j])
 dx = dx + calf(nf[i], labelx)
 return np.array(dx)


def draw(nf):
 plt.rcparams['font.sans-serif'] = ['simhei']
 plt.rcparams['axes.unicode_minus'] = false
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 plt.plot(x, y, label='原函数')
 plt.plot(x, ly, label='三次样条插值函数')
 plt.xlabel('x')
 plt.ylabel('y')
 plt.legend()

 plt.savefig('1.png')
 plt.show()


def losscal(nf):
 x = np.linspace(-5, 5, 101)
 y = f(x)
 ly = nfsub(x, nf)
 ly = np.array(ly)
 temp = ly - y
 temp = abs(temp)
 print(temp.mean())


if __name__ == '__main__':
 x = np.array(range(11)) - 5
 y = f(x)

 n, m = symbols('n m')
 init_printing(use_unicode=true)
 ms = calm()
 nf = calnf(x)
 draw(nf)
 losscal(nf)

以上就是本文的全部内容,希望对大家的学习有所帮助,也希望大家多多支持。