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python的高级数组之稀疏矩阵

程序员文章站 2022-12-28 15:50:32
具有少量非零项的矩阵(在矩阵中,若数值0的元素数目远多于非0元素的数目,并且非0元素分布没有规律时,)则称该矩阵为稀疏矩阵;相反,为稠密矩阵。非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数为矩阵的稠密度。 稀疏矩阵的两个动机:稀疏矩阵通常具有很大的维度,有时甚大到整个矩阵(零元素)与可用内存不想适应;另一个动 ......

 

  1. 稀疏矩阵的定义:

具有少量非零项的矩阵(在矩阵中,若数值0的元素数目远多于非0元素的数目,并且非0元素分布没有规律时,)则称该矩阵为稀疏矩阵;相反,为稠密矩阵。非零元素的总数比上矩阵所有元素的总数为矩阵的稠密度。

稀疏矩阵的两个动机:稀疏矩阵通常具有很大的维度,有时甚大到整个矩阵(零元素)与可用内存不想适应;另一个动机是避免零矩阵元素的运算具有更好的性能。

  1. 稀疏矩阵的格式

存储矩阵的一般方法是采用二维数组,其优点是可以随机地访问每一个元素,因而能够容易实现矩阵的各种运算。对于稀疏矩阵,采用二维数组的存储方法既浪费大量的存储单元来存放零元素,又要在运算中浪费大量的时间来进行零元素的无效运算。因此必须考虑对稀疏矩阵进行压缩存储(只存储非零元素)。

scipy.sparse模块提供了许多来自于稀疏矩阵的不同存储格式。这里仅描述最为重要的格式csrcsclilcsrcsc是用于矩阵-矩阵和矩阵-向量运算的有效格式,lil格式用于生成和更改稀疏矩阵。python不能自动创建稀疏矩阵,所以要用scipy中特殊的命令来得到稀疏矩阵。

(1) 压缩稀疏行(csrcompressed sparse row):或csr_matrix  按行对矩阵进行压缩的。

   csr使用了三个数组,分别为数值、行偏移(表示某一行的第一个元素在数值里面的起始偏移位置,在行偏移的最后补上矩阵总的元素个数)、列号。csr是一种编码的方式

一维数组data(数值):有序地存储了所有的非零值,它具有与非零元素同样多数量的元素,通常由变量nnz表示。

一维数组indptr(行偏移量):包含了证书使得indptr[i]data中元素的索引,它是行i中的第一个非零元素。如果整个行i为零,则indptr[i]==indptr[i+1]

如初始矩阵有m行,则len(indptr)==m+1

一维数组indices(列号:: 其使用如下方式包含列索引信息:indices[indptr[i]:indptr[i+1]]是一个具有行i中非零元素的列索引的整数数组。len(indice)==len(data)==nnz

 

备注:列索引表示数值所在的列号,从0开始。

      数组data:包含矩阵中的非零元素,以行优先的形式保存。

    行偏移:csr中行索引被压缩,没有行索引,这里用行偏移表示行索引。

实例:

             python的高级数组之稀疏矩阵

如上图所示:data=(1,7,2,8,5,3,9,6,4)

            indices=(0,1,1,2,0,2,3,1,3)    #列索引

            indptr=(0,2,4,7,9)  #行偏移(表示某一行的第一个元素在数值里面的起始偏移位置,在行偏移的最后补上矩阵总的元素个数)

python中使用:

import numpy as np

from scipy.sparse import csr_matrix

indptr = np.array([0, 2, 3, 6])

indices = np.array([0, 2, 2, 0, 1, 2])

data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6])

a=csr_matrix((data, indices, indptr), shape=(3, 3)).toarray() #生成csr格式的矩阵

print(a)    #运行结果:

[[1 0 2]

 [0 0 3]

 [4 5 6]]

     解析:第i行的列索引存储在indices[indptr[i]:indptr[i+1]],对应的值为data[indptr[i]:indptr[i+1]]。即例如第0行的列索引为indices[0:2]=[0,2](第i行中非零元素的列索引组成的整数数组),值为data[0:2]=[1,2];1行的列索引为indices[2:3]=[2],值为data[2:3]=[3]

(2) 稀疏列矩阵csccompressed sparse column,用于csc格式的类型为:csc_matrix  按列对矩阵进行压缩的。

  csr格式相比唯一的不同点是indptrindices数组的定义,该定义与列有关。

csc格式的实例:

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

a=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

as=sp.csc_matrix(a)

print(as)

print(as.data)

print(as.indptr)

print(as.indices)

print(as.nnz)    #运行结果:

[1 3 1 2 4]

[0 3 3 4 5]     #注意此处,同一矩阵csr格式的indptr[0 2 2 3 5]

[0 2 3 0 3]

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(3) 基于行的链表格式:lilrow-based linked list format

 1. 链表稀疏格式在列表数据中以行方式存储非零元素,

列表data: data[k]是行k中的非零元素的列表。如果该行中的所有元素都为0,则它包含一个空列表。

列表rows: 是在位置k包含了在行k中的非零元素列索引列表。

lil格式的同一示例:

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

a=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

as=sp.lil_matrix(a)

print(as.data)

print(as.rows)

print(as.nnz)  #运行结果:

[list([1, 2]) list([]) list([3]) list([1, 4])]

[list([0, 2]) list([]) list([0]) list([0, 3])]

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 2. lil格式更改和切割矩阵:

lil格式最适合切片的方法,即以lil格式提取子矩阵,并通过插入非零元素来改变稀疏模式。

例如:提取

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

a=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

as=sp.lil_matrix(a)

print(as)

bs=as[0:2,0:3]      #切片提取01行,012列组成的子矩阵

print(bs)

print(bs.data)

print(bs.rows)   

#运行结果:

  (0, 0)        1

  (0, 2)        2

[list([1, 2]) list([])]

[list([0, 2]) list([])]

更改:插入新的非零元素会自动更新属性

as[0,1]=17

print(as.data)

print(as.rows)

print(as.nnz)  

#结果: [list([1, 17, 2]) list([]) list([3]) list([1, 4])]

[list([0, 1, 2]) list([]) list([0]) list([0, 3])]

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  1. 生成稀疏矩阵:

numpy包的命令eyeidentitydiagrand都有其对应的稀疏矩阵,这些命令需要额外的参数来指定所得矩阵的稀疏矩阵格式。

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

print(sp.eye(20,20,format = 'lil'))

print(sp.spdiags(np.ones((20,)),0,20,20,format = 'csr'))

print(sp.identity(20,format = 'csc'))

print(sp.rand(20,200,density=0.1,format='csr'))    #sp.rand命令需要额外的参数来描述生成随机矩阵的密度。

  1. 稀疏矩阵方法

将稀疏矩阵类型转换为另一种类型和数据或数组的方法:

as.toarray  #转换稀疏矩阵类型为数组

as.tocsr

as.tocsc

as.tolil

 

#通过issparseisspmatrix_lilisspmatrix_cscisspmatrix_csr等方法检查稀疏矩阵的类型。

import numpy as np

import scipy.sparse as sp

a=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

def sparse_sin(a):

    if not (sp.isspmatrix_csr(a) or sp.isspmatrix_csc(a)):

        a=a.tocsr()

        a.data=sin(a.data)

        return(a)

b=sparse_sin(a)

print(b)

 

#稀疏矩阵方法的dot,用于矩阵-矩阵或者矩阵-向量乘法运算,返回csr_matrixnumpy array

例如:import numpy as np

import scipy.sparse as sp

a=np.array([[1,0,2,0],[0,0,0,0],[3,0,0,0],[1,0,0,4]])

as=sp.csr_matrix(a)

b=np.array([1,2,3,4])

c=as.dot(b)     #结果为:[ 7  0 3  17]

print(c)

c=as.dot(as)        #结果仍为稀疏矩阵

print(c)

d=np.dot(as,b)

print(d)     #不能返回期望的结果