数学建模学习记录——聚类算法

“物以类聚，人以群分”，所谓的聚类，就是将样本划分为 由类似的对象组成的多个类的过程。聚类后，我们可以更加 准确的在每个类中单独使用统计模型进行估计、分析或预测； 也可以探究不同类之间的相关性和主要差异。

一、聚类分析的一些概念

数据的一般的格式

样品与样品之间的常用距离（样品i与样品j）

指标与指标之间的常用“距离”（指标i与指标j）

类与类之间的常用距离

1.由一个样品组成的类是最基本的类；如果每一类都由一 个样品组成，那么样品间的距离就是类间距离。
2.如果某一类包含不止一个样品，那么就要确定类间距 离，类间距离是基于样品间距离定义的，大致有如下几种 定义方式：最短距离法(Nearest Neighbor)、最长距离法(Furthest Neighbor)、组间平均连接法(Between-group Linkage)、组内平均连接法 (Within-group Linkage)、重心法(Centroid clustering)

二、K-means聚类算法

K-means聚类算法概述：

• 算法流程图
  

• K-means算法的评价
  优点： （1）算法简单、快速。 （2）对处理大数据集，该算法是相对高效率的。
  缺点： （1）要求用户必须事先给出要生成的簇的数目K。 （2）对初值敏感。 （3）对于孤立点数据敏感。

K-means++聚类算法

K-means++算法是对K-means算法缺点（2）、（3）点的改进；k-means++算法选择初始聚类中心的基本原则是：初始的聚类中 心之间的相互距离要尽可能的远。

算法描述如下： （只对K-means算法“初始化K个聚类中心”这一步进行了优化）

• 步骤一：随机选取一个样本作为第一个聚类中心；
• 步骤二：计算每个样本与当前已有聚类中心的最短距离（即与最 近一个聚类中心的距离），这个值越大，表示被选取作为聚类中 心的概率较大；最后，用轮盘法（依据概率大小来进行抽选）选 出下一个聚类中心；
• 步骤三：重复步骤二，直到选出K个聚类中心。选出初始点后，就 继续使用标准的K-means算法了。

Spss的聚类分析

Spss分析中的K-均值聚类可以很好的帮助我们实现聚类
注：如果数据的量纲不一样，那么算距离时就没有意义。可以通过下面的公式进行标准化处理

当然，Spss的描述统计可以帮助我们标准化变量：

对数据（城市消费水平）进行聚类分析：

三、系统（层次）聚类

系统聚类法过程

通过聚类成一个类后，通过分割可以分成多个类

聚类分析需要注意的问题

系统聚类法的SPSS实现

使用SPSS分类中的系统聚类法，可以得到谱系图

用图形估计聚类的数量

确定K后保存聚类结果并画图

四、DBSCAN算法

之前的聚类算法都是基于距离的算法，但是光是以距离进行聚类，有时很难得到理想的聚类图形；而DBSCAN算法(Density-based spatial clustering of applications with noise) 是一种基于密度的聚类方法，聚类前不需要预先指定聚类的个数，生成的簇的个数不定（和数据有关）。该算法利用基于密度的聚类的概念，即要求聚类空间中的一定区域内所包含对象（点或其他空间对象）的数目不小于某一给定阈值。 该方法能在具有噪声的空间数据库中发现任意形状的簇，可将密度足够大的相邻区域连接，能有效处理异常数据。

采用DBSCAN算法，能很好的处理比如这样的图：

基本概念

DBSCAN算法将数据点分为三类：

• 核心点：在半径Eps内含有不少于MinPts数目的点
• 边界点：在半径Eps内点的数量小于MinPts，但是落在核心 点的邻域内
• 噪音点：既不是核心点也不是边界点的点

DBSCAN算法伪代码

DBSCAN(D, eps, MinPts) { 
	C = 0 
	for each point P in dataset D { 
		if P is visited 
			continue next point 
		mark P as visited
		NeighborPts= regionQuery(P, eps) 
		if sizeof(NeighborPts) < MinPts 
			mark P as NOISE 
		else { 
			C = next cluster 
			expandCluster(P, NeighborPts, C, eps, MinPts) 
		} 
	} 
}
expandCluster(P, NeighborPts, C, eps, MinPts) { 
	add P to cluster C 
	for each point P' in NeighborPts{ 
		if P' is not visited { 
			mark P' as visited 
			NeighborPts' = regionQuery(P', eps) 
			if sizeof(NeighborPts') >= MinPts 
				NeighborPts= NeighborPtsjoined with NeighborPts' 
		} 
		if P' is not yet member of any cluster 
			add P' to cluster C 
		} 
}
regionQuery(P, eps) 
	return all points within P's eps-neighborhood (including P)

优缺点