MATLAB-梯度Roberts算子、拉普拉斯算子、Sobel算子、Prewitt算子对图像进行锐化

1. 锐化

1.锐化(Sharpening) ：图像在传输或变换过程中（如未聚焦好）、受到各种干扰而退化，典型的是图像模糊，而图像的判读和识别中，常需突出目标的轮廓或边缘信息。
2.边缘锐化：主要增强图像的轮廓边缘、细节（ 灰度跳变部分），以突出图像中景物的边缘或纹理，形成完整的物体边界，使边缘和轮廓模糊的图像清晰，又叫空域高通滤波（俗称为勾边处理）。
从数学角度看，图像模糊相当于图像被平均或者积分，为实现图像的锐化，我们需要运用它的反运算“微分”——加强高频分量，实现轮廓清晰。

2. 梯度运算

设图像$f(x,y)$f(x,y)为定义在点$(x,y)$(x,y)的梯度矢量为$G[f(x,y)]$G[f(x,y)]：
$\mathbf{G}[f(x, y)]=\left[\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}\right]=\left[\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f}{\partial y}\right]^{\top}=\nabla f(x, y)$G[f(x,y)]=[∂x∂f​∂y∂f​​]=[∂x∂f​∂y∂f​]⊤=∇f(x,y)
性质：

1. 梯度的方向是在$f(x,y)$f(x,y)的最大变化率方向
2. 梯度的幅度用$G[f(x,y)]$G[f(x,y)]表示：

$G[f(x, y)]=\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}\right]^{1 / 2}$G[f(x,y)]=[(∂x∂f​)2+(∂y∂f​)2]1/2
对于数字图像来说，梯度的求解从求偏导变成了相减
$G[f(x, y)]=\left\{[f(i, j)-f(i+1, j)]^{2}+[f(i, j)-f(i, j+1)]^{2}\right\}^{1 / 2}$G[f(x,y)]={[f(i,j)−f(i+1,j)]2+[f(i,j)−f(i,j+1)]2}1/2
简化为$G[f(x, y)] \approx|f(i, j)-f(i+1, j)|+|f(i, j)-f(i, j+1)|$G[f(x,y)]≈∣f(i,j)−f(i+1,j)∣+∣f(i,j)−f(i,j+1)∣

3. 边缘检测的分类

（1）一阶导数的边缘算子
通过模板作为核与图像的每个像素点做卷积和运算，然后选取合适的阈值来提取图像的边缘。常见的有Roberts算子、Sobel算子和Prewitt算子。
（2）二阶导数的边缘算子
依据于二阶导数过零点，常见的有Laplacian 算子，此类算子对噪声敏感。
（3）其他边缘算子
前面两类均是通过微分算子来检测图像边缘，还有一种就是Canny算子，其是在满足一定约束条件下推导出来的边缘检测最优化算子。

4. Roberts算子

对于第二节所讲的数字梯度运算，我们将其公式改变为$G[f(x, y)] \approx|f(i, j)-f(i+1, j+1)|+|f(i+1, j)-f(i, j+1)|$G[f(x,y)]≈∣f(i,j)−f(i+1,j+1)∣+∣f(i+1,j)−f(i,j+1)∣
这种交叉梯度我们称之为Roberts梯度。

5. sobel算子

基本思想：以待增强图像的任意象素$(i,j)$(i,j)为中心，截取一个$3×3$3×3的象素窗口，先分别计算窗口中心象素在$x$x，$y$y方向的梯度:
$\begin{aligned} &S_{x}=[f(i-1, j+1)+2 f(i, j+1)+f(i+1, j+1)]-[f(i-1, j-1)+2 f(i, j-1)+f(i+1, j-1)]\\&S_{y}=[f(i+1, j-1)+2 f(i+1, j)+f(i+1, j+1)]-[f(i-1, j-1)+2 f(i-1, j)+f(i-1, j+1)]\end{aligned}$​Sx​=[f(i−1,j+1)+2f(i,j+1)+f(i+1,j+1)]−[f(i−1,j−1)+2f(i,j−1)+f(i+1,j−1)]Sy​=[f(i+1,j−1)+2f(i+1,j)+f(i+1,j+1)]−[f(i−1,j−1)+2f(i−1,j)+f(i−1,j+1)]​
增强后的$(i,j)$(i,j)的灰度： $f^{\prime}(i, j)=\sqrt{S_{x}^{2}+S_{y}^{2}}$f′(i,j)=Sx2​+Sy2​​
可以简化为：$f^{\prime}(i, j)={|S_{x}|+|S_{y}|}$f′(i,j)=∣Sx​∣+∣Sy​∣
优点:

• 由于引入了加权平均，所以对图像中的随机噪声具有一定的平滑作用。
• 由于采用间隔两行或两列的差分，边缘两侧的象素得到增强，锐化图像的边缘显得粗而亮。

$Sx,Sy$Sx,Sy可用卷积模板来实现 可用卷积模板来实现：
$S_{x}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right] \quad S_{y}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right]$Sx​=⎣⎡​−1−2−1​000​121​⎦⎤​Sy​=⎣⎡​−101​−202​−101​⎦⎤​
可见：其重点放在接近于模板中心的象素点

6. Prewitt算子

基本思想：与Sobel算子相同，方程的形式相同，但其中系数不同:
$\begin{array}{c} S_{x}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \quad S_{y}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right] \\\\ S_{p}=\sqrt{S_{x}^{2}+S_{y}^{2}} \end{array}$Sx​=⎣⎡​−1−1−1​000​111​⎦⎤​Sy​=⎣⎡​−101​−101​−101​⎦⎤​Sp​=Sx2​+Sy2​​​
可见：与Sobel算子不同 ，其重点没有放在接近于模板中心的象素点。

7. 拉普拉斯算子

基本思想：拉普拉斯(Laplacian) 算子是 n 维欧几里德空间中的一个二阶微分算子。$\nabla^{2} f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$∇2f=∂x2∂2f​+∂y2∂2f​ 具有各向同性。

1. 对于数字图像$f(x,y)$f(x,y) ，其一阶导数为：
   $\left\{\begin{array}{l} \frac{\partial f(i, j)}{\partial x}=\Delta_{x} f(i, j)=f(i, j)-f(i-1, j) \\\\ \frac{\partial f(i, j)}{\partial y}=\Delta_{y} f(i, j)=f(i, j)-f(i, j-1) \end{array}\right.$⎩⎪⎨⎪⎧​∂x∂f(i,j)​=Δx​f(i,j)=f(i,j)−f(i−1,j)∂y∂f(i,j)​=Δy​f(i,j)=f(i,j)−f(i,j−1)​
2. $f(x,y)$f(x,y) ，其二阶导数为：
   $\left\{\begin{aligned} \frac{\partial^{2} f(i, j)}{\partial x^{2}} &=\Delta_{x} f(i+1, j)-\Delta_{x} f(i, j) \\ &=[f(i+1, j)-f(i, j)]-[f(i, j)-f(i-1, j)] \\ &=f(i+1, j)+f(i-1, j)-2 f(i, j) \\\\ \frac{\partial^{2} f(i, j)}{\partial y^{2}} &=f(i, j+1)+f(i, j-1)-2 f(i, j) \end{aligned}\right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​∂x2∂2f(i,j)​∂y2∂2f(i,j)​​=Δx​f(i+1,j)−Δx​f(i,j)=[f(i+1,j)−f(i,j)]−[f(i,j)−f(i−1,j)]=f(i+1,j)+f(i−1,j)−2f(i,j)=f(i,j+1)+f(i,j−1)−2f(i,j)​
3. 拉普拉斯算子为：$\begin{aligned} \nabla^{2} f(i, j) &=\Delta_{x}^{2} f(i, j)+\Delta_{y}^{2}(i, j) \\ &=f(i+1, j)+f(i-1, j)+f(i, j+1)+f(i, j-1)-4 f(i, j) \\ &=-5\left\{f(i, j)-\frac{1}{5}[f(i+1, j)+f(i-1, j)+f(i, j+1)+f(i, j-1)+f(i, j)]\right\} \end{aligned}$∇2f(i,j)​=Δx2​f(i,j)+Δy2​(i,j)=f(i+1,j)+f(i−1,j)+f(i,j+1)+f(i,j−1)−4f(i,j)=−5{f(i,j)−51​[f(i+1,j)+f(i−1,j)+f(i,j+1)+f(i,j−1)+f(i,j)]}​

其中，Laplacian算子四邻域模板如下所示：
$\mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right]$H=⎣⎡​0−10​−14−1​0−10​⎦⎤​
Laplacian算子八邻域模板如下所示
$\mathrm{H}=\left[\begin{array}{ccc} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8& -1 \\ -1 & -1 & -1 \end{array}\right]$H=⎣⎡​−1−1−1​−18−1​−1−1−1​⎦⎤​
可见：

• 当邻域内像素灰度相同时，模板的卷积运算结果为0；
• 当中心像素灰度高于邻域内其他像素的平均灰度时，模板的卷积运算结果为正数；
• 当中心像素的灰度低于邻域内其他像素的平均灰度时，模板的卷积为负数。对卷积运算的结果用适当的衰弱因子处理并加在原中心像素上，就可以实现图像的锐化处理。

8. matlab代码实现

clc;clear all;
img = imread('C:\Users\lihuanyu\Desktop\opencv\image\lena256.bmp');
figure;
imshow(img),title("原图像");
[ROW,COL] = size(img);
img = double(img);
new_img = zeros(ROW,COL); %新建画布
%定义robert算子
roberts_x = [1,0;0,-1];
roberts_y = [0,-1;1,0];
for i = 1:ROW - 1
    for j = 1:COL - 1
        funBox = img(i:i+1,j:j+1);
        G_x = roberts_x .* funBox;
        G_x = abs(sum(G_x(:)));
        G_y = roberts_y .* funBox;
        G_y = abs(sum(G_y(:)));
        roberts_xy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;
        new_img(i,j) = roberts_xy;
    end
end
figure(2);
imshow(new_img/255),title("robert算子的图像");
% 定义laplace算子
laplace = [0,1,0;1,-4,1;0,1,0];
for i = 1:ROW - 2
    for j = 1:COL - 2
        funBox = img(i:i+2,j:j+2);
        G = laplace .* funBox;
        G = abs(sum(G(:)));
        new_img(i+1,j+1) = G;
    end
end
figure(3)
imshow(new_img/255),title("laplace算子的图像");
%定义sobel算子
sobel_x = [-1,0,1;-2,0,2;-1,0,1];
sobel_y = [-1,-2,-1;0,0,0;1,2,1];
for i = 1:ROW - 2
    for j = 1:COL - 2
        funBox = img(i:i+2,j:j+2);
        G_x = sobel_x .* funBox;
        G_x = abs(sum(G_x(:)));
        G_y = sobel_y .* funBox;
        G_y = abs(sum(G_y(:)));
        sobelxy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;
        new_img(i+1,j+1) = sobelxy;
    end
end
figure(4);
imshow(new_img/255),title("sobel的图像");
%定义Prewitt算子
sobel_x = [-1,0,1;-1,0,1;-1,0,1];
sobel_y = [-1,-1,-1;0,0,0;1,1,1];
for i = 1:ROW - 2
    for j = 1:COL - 2
        funBox = img(i:i+2,j:j+2);
        G_x = sobel_x .* funBox;
        G_x = abs(sum(G_x(:)));
        G_y = sobel_y .* funBox;
        G_y = abs(sum(G_y(:)));
        sobelxy  = G_x * 0.5 + G_y * 0.5;
        new_img(i+1,j+1) = sobelxy;
    end
end
figure(5);
imshow(new_img/255),title("Prewitt的图像");

原图：

结果：