深度学习损失函数原理解析（一）

在深度学习中，我们经常用到损失函数，损失函数选择使用情况直接决定我们模型训练效果。
1.前言
损失函数是深度学习与机器学习里面的重要函数。从字面意思可确定，损失函数（Loss Function）反应的是模型对数据的拟合程度。损失函数越小，说明模型对数据拟合程度越好，反之拟合程度越差。
损失函数是用来估量模型的预测值prediction(x)与真值Y之间的不一致问题，非负值函数，通常L(Y,prediction(x))表示损失函数公式，损失函数越好，鲁棒性越好，损失函数是经验风险函数的核心部分，也是结构风险函数的重要组成部分。模型的结构风险函数包括了经验风险项和正则项，通常可以表示成如下式子：

其中，前面的均值函数表示的是经验风险损失函数，L表示的是损失函数，后面的是正则化项。

本文主要收集和整理了深度学习常用的损失函数，给出函数表达形式，以及使用介绍和应用场景。
2.常用损失函数
**2.1 均方差函数（MSE）
概念：均方差损失函数是预测值和原始数据对应点误差的平方和的均值，
公式：

N个样本数。

pytorch中实例演示：
代码：

import torch
import torchvision
from torch import nn
input=torch.rand(1,5,requires_grad=True)
target=torch.rand(1,5)
loss=torch.nn.MSELoss()
output=loss(input,target)

结果：在这里插入代码片

input: tensor([[0.5939, 0.8272, 0.7765, 0.7223, 0.5796]], requires_grad=True)
target: tensor([[0.7467, 0.0961, 0.0630, 0.3596, 0.3448]])
output: tensor(0.2507, grad_fn=<MseLossBackward>)

#运行结果为0.2507，
上面展示在torch中调用算法演示，下面讲解一下内部运行机制。
代码：

input=[0.5939, 0.8272, 0.7765, 0.7223, 0.5796]
target=[0.7467, 0.0961, 0.0630, 0.3596, 0.3448]
input=torch.tensor(input)
target=torch.tensor(target)
result=(input-target)**2
output=result.view(5,).sum()/5
print("result:",result)
print("output:",output)

结果：

result: tensor([0.0233, 0.5345, 0.5091, 0.1316, 0.0551])
output: tensor(0.2507)

计算结果与torch.nn.MSELoss()相同，为0.2507
2.2 交叉熵损失（CrossEntropyLoss）
**概念：**交叉熵是信息论中的一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性，要理解交叉熵，需要先了解下面几个概念。
信息量：****信息量用来消除随机不确定的东西，衡量信息量的大小就是看这个信息消除不确定性的程度。
这一个损失函数在深度学习中经常使用，我们重点讲解。
例如：“地球是圆的”，这是确定的信息，这句话并没有减少不确定性，信息量为0.
根据上述可总结如下，信息量的大小与信息发生的概率生反比。概率越大，信息量越小。概率越小，信息量越大。
设某一事件发生的概率为P(x),其信息量表示为：

其I(x)表示信息量，这里log表示e为底的自然对数。

信息熵：信息熵被称为熵，用来表示所有信息量的期望。
期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。
所以信息量的熵可表示为：（这里的X是一个离散型随机变量）

举一个抓球的例子，箱子中有红色球5个，绿色求3个，蓝色球2个。则从箱子中随机抓取一个球，计算信息熵。

对于0-1分布的问题，由于其结果只用两种情况，是或不是，设某一件事情发生的概率为 P ( x )，则另一件事情发生的概率为 1 − P ( x ) ，所以对于0-1分布的问题，计算熵的公式可以简化如下：

相对熵（KL散度）
如果对于同一个随机变量 X X X有两个单独的概率分布 P ( x ) 和 Q ( x ) ，则我们可以使用KL散度来衡量这两个概率分布之间的差异。
下面直接列出公式，再举例子加以说明。

在机器学习中，常常使用 P(x)来表示样本的真实分布， Q ( x )来表示模型所预测的分布，比如在一个三分类任务中（例如，猫狗马分类器）， x 1 , x 2 , x 3 分别代表猫，狗，马，例如一张猫的图片真实分布 P ( X ) = [ 1 , 0 , 0 ] , 预测分布 Q ( X ) = [ 0.7 , 0.2 , 0.1 ] ，计算KL散度：

KL散度越小，表示 P ( x ) 与 Q ( x ) 的分布更加接近，可以通过反复训练 Q ( x ) 来使 Q ( x ) 的分布逼近 P ( x ) 。
交叉熵
首先将KL散度公式拆开：

前者 H ( p ( x ) ) 表示信息熵，后者即为交叉熵，KL散度 = 交叉熵 - 信息熵
交叉熵公式表示为：

在深度学习训练网络时，输入数据与标签常常已经确定，那么真实概率分布 P ( x ) 也就确定下来了，所以信息熵在这里就是一个常量。由于KL散度的值表示真实概率分布 P ( x ) 与预测概率分布 Q ( x ) 之间的差异，值越小表示预测的结果越好，所以需要最小化KL散度，而交叉熵等于KL散度加上一个常量（信息熵），且公式相比KL散度更加容易计算，所以在深度学习中常常使用交叉熵损失函数来计算loss就行了。
在线性回归问题中，常常使用MSE(Mean Squared Error)作为loss函数，而在分类问题中常常使用交叉熵作为loss函数。
下面通过一个例子来说明如何计算交叉熵损失值。
假设我们输入一张狗的图片，标签与预测值如下：

那么loss:
loss=−(0∗log(0.2)+1∗log(0.7)+0∗log(0.1))=0.36
一个batch的loss为:

m表示样本数。

代码：

import torch
import torchvision
from torch import nn
from torch.nn.functional import  cross_entropy
import random
import numpy as np
p=torch.randn([2,3])
t=torch.tensor([2,1])
print(p)
print(t)
p=torch.softmax(p,dim=-1)
print("p:",p)
gold_probs=torch.gather(p,1,t.unsqueeze(1)).squeeze()
print("gold_probs:",gold_probs)
step_loss=torch.mean(-torch.log(gold_probs))
print("loss2:",step_loss)

结果：

tensor([[ 3.4984, -0.1238,  2.7632],
        [-1.0089, -1.7351,  0.6044]])
tensor([2, 1])
p: tensor([[0.6640, 0.0177, 0.3183],
        [0.1538, 0.0744, 0.7718]])
gold_probs: tensor([0.3183, 0.0744])
loss2: tensor(1.8716)

总结：
交叉熵能够衡量同一个随机变量中的两个不同概率分布的差异程度，在机器学习中就表示为真实概率分布与预测概率分布之间的差异。交叉熵的值越小，模型预测效果就越好。
交叉熵在分类问题中常常与softmax是标配，softmax将输出的结果进行处理，使其多个分类的预测值和为1，再通过交叉熵来计算损失。

END:本章节主要讲解均方差与交叉熵损失函数，其他损失函数后章节介绍。