AcWing479.加分二叉树(区间DP)题解

加分二叉树

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题目描述

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（1,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。

每个节点都有一个分数（均为正整数），记第i个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分 × subtree的右子树的加分 ＋ subtree的根的分数

若某个子树为空，规定其加分为1。叶子的加分就是叶节点本身的分数，不考虑它的空子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。

要求输出：

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

输入格式

第1行：一个整数n，为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（0<分数<100）。

输出格式

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。如果存在多种方案，则输出字典序最小的方案。

数据范围

n<30

输入样例：

5
5 7 1 2 10

输出样例：

145
3 1 2 4 5

题解：

区间DP同样适用于二叉树：

枚举二叉树的节点个数 len, 枚举二叉树的组成区间(l, r), 枚举根节点 k, 从而得到状态转移方程式：

f[ l ] [ r ] = max(f[ l ] [ r ], f[ l ] [ k - 1] + f[ l ] [k + 1], + w[k])

更新最大值的同时, 记录每一个树的根节点

//DP[i][j] 表示区间[i ~ j] 表示为一个二叉树时的分数的最大值
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 35;
int n;
int w[N];
int f[N][N], g[N][N]; // g数组用来存储每一个区间的根节点
void dfs(int l, int r, int k)
{
    if(l > r)return ;
    cout << k << ' ';
    dfs(l, k - 1, g[l][k - 1]);
    dfs(k + 1, r, g[k + 1][r]);
}
int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> w[i];
    for(int len = 1; len <= n; len++){   //枚举区间长度
        for(int l = 1; l + len - 1 <= n; l++){ //枚举起点
            int r = l + len - 1;  //得到右端点
            if(len == 1){  //如果是根节点
                f[l][r] = w[l]; 
                g[l][r] = l;
            }
            else{
                for(int k = l; k <= r; k++){  //枚举根节点
                    //判断左子树是否为空
                    int left = k == l ? 1 : f[l][k - 1];  //得到左子树和右子树的分数
                    int right = k == r ? 1 : f[k + 1][r];
                    if(left * right + w[k] > f[l][r]){   //更新最大值
                        f[l][r] = left * right + w[k];
                        g[l][r] = k;  //跟新根节点
                    }
                }
            }
        }
    }
    cout << f[1][n] << endl;
    dfs(1, n, g[1][n]);
    return 0;
}