牛客网noip赛前集训 提高组第4场 T2 区间 单调求解法,卡常

非常简单的一场了,然而我T1巧妙地写萎把$long long$longlong给爆了,挂成了$30$30分.
不过T2非常好玩,我介绍介绍.

题意

$给出一个序列 a1, ..., an. \newline 定义一个区间 [l,r] 是好的，当且仅当这个区间中存在一个 i，使得 ai 恰好等于 al, al+1, ..., ar-1, ar 的最大公因数.\newline 求最长的好的区间的长度.$给出一个序列a1,...,an.定义一个区间[l,r]是好的，当且仅当这个区间中存在一个i，使得ai恰好等于al,al+1,...,ar−1,ar的最大公因数.求最长的好的区间的长度.

$40$40分做法.

一开始写了个$40$40分.可以发现的性质是,一个序列$a$a的$gcd\leq min\_element(a)$gcd≤min_element(a).
所以一个序列的$gcd$gcd如果要出现在这个序列中,必然是最小的数值.
我们$n^2 log(n)$n2log(n)预处理每个区间的$gcd$gcd和最小值,再$n^2$n2求出答案.

#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
namespace chtholly{
typedef long long ll;
#define re0 register int
#define rel register ll
#define rec register char
#define gc getchar
#define pc putchar
#define p32 pc(' ')
#define pl puts("")
/*By Citrus*/
inline int read(){
  int x=0,f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-';
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return f?x:-x;
  }
template <typename mitsuha>
inline bool read(mitsuha &x){
  x=0;int f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-';
  if (!~c) return 0;
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return x=f?x:-x,1;
  }
template <typename mitsuha>
inline int write(mitsuha x){
  if (!x) return 0&pc(48);
  if (x<0) pc('-'),x=-x;
  int bit[20],i,p=0;
  for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10;
  for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48);
  return 0;
  }
inline char fuhao(){
  char c=gc();
  for (;isspace(c);c=gc());
  return c;
  }
}using namespace chtholly;
using namespace std;
const int yuzu=4e6,aoi=2038;
typedef ll fuko[yuzu|10];
fuko a,tmp;
ll gcd[aoi][aoi],xiao[aoi][aoi];
 
int main(){
  int i,j,k,n=read(),llx=0;
  memset(xiao,0x3f,sizeof xiao);
  for (i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
  for (i=1;i<=n;++i){
    for (j=i;j<=n;++j){
      gcd[i][j]=__gcd(gcd[i][j-1],a[j]);
      xiao[i][j]=min(xiao[i][j-1],a[j]);
    }
  }
  for (i=1;i<=n;++i){
    for (j=i;j<=n;++j){
      if (gcd[i][j]==xiao[i][j]) llx=max(llx,j-i+1);
    }  
  } write(llx);
}

$90$90分做法

我们定义$l[i]$l[i]为从$i$i向左能到达的离它最近的不能被它整除的数的位置$+1$+1.
同理定义$r[i]$r[i]为从$i$i向右能到达的离它最近的不能被它整除的数的位置$-1$−1.
这样答案就是$\max(r[i]-l[i]+1)(i\in {1,2,3,...,n})$max(r[i]−l[i]+1)(i∈1,2,3,...,n).
如何$O(n)$O(n)求出$l,r$l,r这两个数组呢?
可以注意到,如果$a[i]\ mod \ a[j]=0$a[i] mod a[j]=0,$l[j]$l[j]可以直接跳到$l[i]$l[i].
这样我们可以像$kmp$kmp一样利用已经求出来的$l$l求出接下来的$l$l.
均摊复杂度是$O(n)$O(n).
for (l[i]=i;l[i]>1&&a[l[i]-1]%a[i]==0;l[i]=l[l[i]-1]);
这样便可以获得$90$90分.

#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
namespace chtholly{
typedef long long ll;
#define re0 register int
#define rel register ll
#define rec register char
#define gc getchar
#define pc putchar
#define p32 pc(' ')
#define pl puts("")
/*By Citrus*/
inline int read(){
  int x=0,f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-';
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return f?x:-x;
  }
template <typename mitsuha>
inline bool read(mitsuha &x){
  x=0;int f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-';
  if (!~c) return 0;
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return x=f?x:-x,1;
  }
template <typename mitsuha>
inline int write(mitsuha x){
  if (!x) return 0&pc(48);
  if (x<0) pc('-'),x=-x;
  int bit[20],i,p=0;
  for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10;
  for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48);
  return 0;
  }
inline char fuhao(){
  char c=gc();
  for (;isspace(c);c=gc());
  return c;
  }
}using namespace chtholly;
using namespace std;
const int yuzu=4e6,aoi=2038;
typedef ll fuko[yuzu|10];
fuko a,l,r;
 
int main(){
  int i,n=read(); ll llx=0;
  for (i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
  for (i=1;i<=n;++i){
    for (l[i]=i;l[i]>1&&a[l[i]-1]%a[i]==0;l[i]=l[l[i]-1]);
  }
  for (i=n;i;--i){
    for (r[i]=i;r[i]<n&&a[r[i]+1]%a[i]==0;r[i]=r[r[i]+1]);
  }
  for (i=1;i<=n;++i) llx=max(llx,r[i]-l[i]+1);
  write(llx);
}

满分解法

以上复杂度明显正确的算法仅仅获得了$90$90分,想必大家都知道是怎么回事.
毒瘤出题人卡常!毒瘤出题人卡常!毒瘤出题人卡常!重要的事情要说三遍!
我尝试开了一波$O3$O3,过不了.
数据范围$4\times 10^6$4×106,非常卡读入,可能读入的时间已经超过了$1s$1s.
那么既然普通的快读还是过不了,我们应当用$fread$fread快读.
我第一次见到快读还被卡的题目,给出题人寄一波刀片.
本来还以为出题人十分仁慈不会卡常的,看来还是我太年轻了.

#include<bits/stdc++.h> //Ithea Myse Valgulious
namespace chtholly{
typedef long long ll;
#define re0 register int
#define rel register ll
#define rec register char
//#define gc getchar
#define gc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<22,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
/*与90分代码相比唯一的区别.*/
#define pc putchar
#define p32 pc(' ')
#define pl puts("")
/*By Citrus*/
char buf[(1<<22)],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
  int x=0,f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c);c=gc()) f^=c=='-';
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^'0');
  return f?x:-x;
  }
template <typename mitsuha>
inline bool read(mitsuha &x){
  x=0;int f=1;char c=gc();
  for (;!isdigit(c)&&~c;c=gc()) f^=c=='-';
  if (!~c) return 0;
  for (;isdigit(c);c=gc()) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^'0');
  return x=f?x:-x,1;
  }
template <typename mitsuha>
inline int write(mitsuha x){
  if (!x) return 0&pc(48);
  if (x<0) pc('-'),x=-x;
  int bit[20],i,p=0;
  for (;x;x/=10) bit[++p]=x%10;
  for (i=p;i;--i) pc(bit[i]+48);
  return 0;
  }
inline char fuhao(){
  char c=gc();
  for (;isspace(c);c=gc());
  return c;
  }
}using namespace chtholly;
using namespace std;
const int yuzu=4e6,aoi=2038;
typedef ll fuko[yuzu|10];
fuko a,l,r;
 
int main(){
  int i,n=read(); ll llx=0;
  for (i=1;i<=n;++i) read(a[i]);
  for (i=1;i<=n;++i){
    for (l[i]=i;l[i]>1&&a[l[i]-1]%a[i]==0;l[i]=l[l[i]-1]);
  }
  for (i=n;i;--i){
    for (r[i]=i;r[i]<n&&a[r[i]+1]%a[i]==0;r[i]=r[r[i]+1]);
  }
  for (i=1;i<=n;++i) llx=max(llx,r[i]-l[i]+1);
  write(llx);
}