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300. 最长上升子序列

程序员文章站 2022-07-03 21:54:07
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300. 最长上升子序列


1、常规动归思想

首先使用的是常规的动归思想,时间复杂度为 O(n^2),不多解释,只是要注意,dp[i] 每次都是在 dp[0] - dp[i-1] 中寻找最大的值 + 1。

public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
    int[] dp = new int[nums.length];
    dp[0] = 1;
    int result = 1;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int max = 0;
        for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
            if (nums[i] > nums[j] && max < dp[j]) max = dp[j];
        }
        dp[i] = max + 1;
        if (result < dp[i]) result = dp[i];
    }
    return result;
}

2、基于二分查找

转载自:https://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!

对于上述解题思想,B 数组中的最后一个有效元素 B[last] 需要保持为所有大于 B[last-1] 的元素中的最小值,因为只有两个元素的差值越小,才能在边界在一定范围内的有序集合中填充更多的有序的元素。

public int lengthOfLIS2(int[] nums) {
    if (nums == null || nums.length == 0) return 0;

    int[] tmpArr = new int[nums.length];
    tmpArr[0] = nums[0];
    int tmpLen = 1;
    for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        if (nums[i] > tmpArr[tmpLen - 1]) {
            tmpArr[tmpLen] = nums[i];
            tmpLen++;
        } else {
            //二分查找。注意,这里二分查找是求下界的,即返回 >= 所查找对象的第一个位置
            int mid;
            int left = 0;
            int right = tmpLen - 1;
            while (left<right) {
                mid = (left + right) / 2;
                if (tmpArr[mid]>=nums[i]) right=mid;
                else left = mid + 1;
            }
            tmpArr[left] = nums[i];
        }
    }
    return tmpLen;
}