蓝桥杯-算法提高-矩阵乘法-动态规划DP

蓝桥杯-算法提高-矩阵乘法

• 问题描述
  　　有n个矩阵，大小分别为a0a1, a1a2, a2a3, …, a[n-1]a[n]，现要将它们依次相乘，只能使用结合率，求最少需要多少次运算。
  　　两个大小分别为pq和qr的矩阵相乘时的运算次数计为pqr。
• 输入格式
  　　输入的第一行包含一个整数n，表示矩阵的个数。
  　　第二行包含n+1个数，表示给定的矩阵。
• 输出格式
  　　输出一个整数，表示最少的运算次数。
• 样例输入
  3
  1 10 5 20
• 样例输出
  150
• 数据规模和约定
  1<=n<=1000, 1<=ai<=10000。
  蓝桥杯 算法提高 矩阵乘法 （区间DP: 最优矩阵连乘）
  最优矩阵连乘，总存在最后一次相乘的位置，既分为左边x个矩阵相乘，右边y个矩阵相乘，最后把这两边的矩阵相乘( 矩阵乘法符合结合律)。那么要使最后的相乘次数最少，左右两边的矩阵也需要满足相乘的次数最少(最优子结构)。
  一开始，满足两个矩阵相乘的次数最少；
  到，每三个矩阵相乘的次数最少(利用上一步的两个矩阵相乘次数最少）；
  …
  一直到每n个矩阵相乘的次数最少。
  
  AC的代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
long long a[1002];
long long dp[1002][1002];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n+1;i++){
		cin>>a[i];
	}
	memset(dp,0x3f,sizeof(dp)); //△ 
	for(int i=1;i<=n;i++){
		dp[i][i]=0;
	}
	for(int l=2;l<=n;l++){//枚举矩阵连乘的长度
        for(int i = 1;i+l-1<=n;i++){//枚举矩阵连乘起始的位置
             int j =i+l-1;//j为长度为l的链的末尾
             for(int k =i;k<=j-1;k++){//枚举分割点
                long long q = dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];
                if(q<dp[i][j])
                   dp[i][j]=q;
             }
        }
    }
	cout<<dp[1][n]<<endl;
	return 0;
}