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主成分分析

程序员文章站 2022-07-16 17:33:44
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降维的必要性

1.多重共线性--预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定,从而可能导致结果的不连贯。

2.高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间,而在十维空间上只有0.02%。

3.过多的变量会妨碍查找规律的建立。

4.仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

降维的目的:

1.减少预测变量的个数

2.确保这些变量是相互独立的

3.提供一个框架来解释结果

降维的方法有:主成分分析、因子分析、用户自定义复合等。

PCA(Principal Component Analysis)不仅仅是对高维数据进行降维,更重要的是经过降维去除了噪声,发现了数据中的模式。

PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代,新特征是旧特征的线性组合,这些线性组合最大化样本方差,尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。

主成分分析

主成分分析

主成分分析

5.1     3.5     1.4     0.2
4.9     3.0     1.4     0.2
4.7     3.2     1.3     0.2
4.6     3.1     1.5     0.2
5.0     3.6     1.4     0.2
5.4     3.9     1.7     0.4
4.6     3.4     1.4     0.3
5.0     3.4     1.5     0.2
4.4     2.9     1.4     0.2
4.9     3.1     1.5     0.1
5.4     3.7     1.5     0.2
4.8     3.4     1.6     0.2
4.8     3.0     1.4     0.1
4.3     3.0     1.1     0.1
5.8     4.0     1.2     0.2
5.7     4.4     1.5     0.4
5.4     3.9     1.3     0.4
5.1     3.5     1.4     0.3
5.7     3.8     1.7     0.3
5.1     3.8     1.5     0.3
5.4     3.4     1.7     0.2
5.1     3.7     1.5     0.4
4.6     3.6     1.0     0.2
5.1     3.3     1.7     0.5
4.8     3.4     1.9     0.2
5.0     3.0     1.6     0.2
5.0     3.4     1.6     0.4
5.2     3.5     1.5     0.2
5.2     3.4     1.4     0.2
4.7     3.2     1.6     0.2
4.8     3.1     1.6     0.2
5.4     3.4     1.5     0.4
5.2     4.1     1.5     0.1
5.5     4.2     1.4     0.2
4.9     3.1     1.5     0.1
5.0     3.2     1.2     0.2
5.5     3.5     1.3     0.2
4.9     3.1     1.5     0.1
4.4     3.0     1.3     0.2
5.1     3.4     1.5     0.2
5.0     3.5     1.3     0.3
4.5     2.3     1.3     0.3
4.4     3.2     1.3     0.2
5.0     3.5     1.6     0.6
5.1     3.8     1.9     0.4
4.8     3.0     1.4     0.3
5.1     3.8     1.6     0.2
4.6     3.2     1.4     0.2
5.3     3.7     1.5     0.2
5.0     3.3     1.4     0.2
7.0     3.2     4.7     1.4
6.4     3.2     4.5     1.5
6.9     3.1     4.9     1.5
5.5     2.3     4.0     1.3
6.5     2.8     4.6     1.5
5.7     2.8     4.5     1.3
6.3     3.3     4.7     1.6
4.9     2.4     3.3     1.0
6.6     2.9     4.6     1.3
5.2     2.7     3.9     1.4
5.0     2.0     3.5     1.0
5.9     3.0     4.2     1.5
6.0     2.2     4.0     1.0
6.1     2.9     4.7     1.4
5.6     2.9     3.6     1.3
6.7     3.1     4.4     1.4
5.6     3.0     4.5     1.5
5.8     2.7     4.1     1.0
6.2     2.2     4.5     1.5
5.6     2.5     3.9     1.1
5.9     3.2     4.8     1.8
6.1     2.8     4.0     1.3
6.3     2.5     4.9     1.5
6.1     2.8     4.7     1.2
6.4     2.9     4.3     1.3
6.6     3.0     4.4     1.4
6.8     2.8     4.8     1.4
6.7     3.0     5.0     1.7
6.0     2.9     4.5     1.5
5.7     2.6     3.5     1.0
5.5     2.4     3.8     1.1
5.5     2.4     3.7     1.0
5.8     2.7     3.9     1.2
6.0     2.7     5.1     1.6
5.4     3.0     4.5     1.5
6.0     3.4     4.5     1.6
6.7     3.1     4.7     1.5
6.3     2.3     4.4     1.3
5.6     3.0     4.1     1.3
5.5     2.5     4.0     1.3
5.5     2.6     4.4     1.2
6.1     3.0     4.6     1.4
5.8     2.6     4.0     1.2
5.0     2.3     3.3     1.0
5.6     2.7     4.2     1.3
5.7     3.0     4.2     1.2
5.7     2.9     4.2     1.3
6.2     2.9     4.3     1.3
5.1     2.5     3.0     1.1
5.7     2.8     4.1     1.3
6.3     3.3     6.0     2.5
5.8     2.7     5.1     1.9
7.1     3.0     5.9     2.1
6.3     2.9     5.6     1.8
6.5     3.0     5.8     2.2
7.6     3.0     6.6     2.1
4.9     2.5     4.5     1.7
7.3     2.9     6.3     1.8
6.7     2.5     5.8     1.8
7.2     3.6     6.1     2.5
6.5     3.2     5.1     2.0
6.4     2.7     5.3     1.9
6.8     3.0     5.5     2.1
5.7     2.5     5.0     2.0
5.8     2.8     5.1     2.4
6.4     3.2     5.3     2.3
6.5     3.0     5.5     1.8
7.7     3.8     6.7     2.2
7.7     2.6     6.9     2.3
6.0     2.2     5.0     1.5
6.9     3.2     5.7     2.3
5.6     2.8     4.9     2.0
7.7     2.8     6.7     2.0
6.3     2.7     4.9     1.8
6.7     3.3     5.7     2.1
7.2     3.2     6.0     1.8
6.2     2.8     4.8     1.8
6.1     3.0     4.9     1.8
6.4     2.8     5.6     2.1
7.2     3.0     5.8     1.6
7.4     2.8     6.1     1.9
7.9     3.8     6.4     2.0
6.4     2.8     5.6     2.2
6.3     2.8     5.1     1.5
6.1     2.6     5.6     1.4
7.7     3.0     6.1     2.3
6.3     3.4     5.6     2.4
6.4     3.1     5.5     1.8
6.0     3.0     4.8     1.8
6.9     3.1     5.4     2.1
6.7     3.1     5.6     2.4
6.9     3.1     5.1     2.3
5.8     2.7     5.1     1.9
6.8     3.2     5.9     2.3
6.7     3.3     5.7     2.5
6.7     3.0     5.2     2.3
6.3     2.5     5.0     1.9
6.5     3.0     5.2     2.0
6.2     3.4     5.4     2.3
5.9     3.0     5.1     1.8

每一列减去该列均值后,得到矩阵B:

-0.743333       0.446       -2.35867        -0.998667      
-0.943333       -0.054      -2.35867        -0.998667      
-1.14333        0.146       -2.45867        -0.998667      
-1.24333        0.046       -2.25867        -0.998667      
-0.843333       0.546       -2.35867        -0.998667      
-0.443333       0.846       -2.05867        -0.798667      
-1.24333        0.346       -2.35867        -0.898667      
-0.843333       0.346       -2.25867        -0.998667      
-1.44333        -0.154      -2.35867        -0.998667      
-0.943333       0.046       -2.25867        -1.09867       
-0.443333       0.646       -2.25867        -0.998667      
-1.04333        0.346       -2.15867        -0.998667      
-1.04333        -0.054      -2.35867        -1.09867       
-1.54333        -0.054      -2.65867        -1.09867       
-0.0433333      0.946       -2.55867        -0.998667      
-0.143333       1.346       -2.25867        -0.798667      
-0.443333       0.846       -2.45867        -0.798667      
-0.743333       0.446       -2.35867        -0.898667      
-0.143333       0.746       -2.05867        -0.898667      
-0.743333       0.746       -2.25867        -0.898667      
-0.443333       0.346       -2.05867        -0.998667      
-0.743333       0.646       -2.25867        -0.798667      
-1.24333        0.546       -2.75867        -0.998667      
-0.743333       0.246       -2.05867        -0.698667      
-1.04333        0.346       -1.85867        -0.998667      
-0.843333       -0.054      -2.15867        -0.998667      
-0.843333       0.346       -2.15867        -0.798667      
-0.643333       0.446       -2.25867        -0.998667      
-0.643333       0.346       -2.35867        -0.998667      
-1.14333        0.146       -2.15867        -0.998667      
-1.04333        0.046       -2.15867        -0.998667      
-0.443333       0.346       -2.25867        -0.798667      
-0.643333       1.046       -2.25867        -1.09867       
-0.343333       1.146       -2.35867        -0.998667      
-0.943333       0.046       -2.25867        -1.09867       
-0.843333       0.146       -2.55867        -0.998667      
-0.343333       0.446       -2.45867        -0.998667      
-0.943333       0.046       -2.25867        -1.09867       
-1.44333        -0.054      -2.45867        -0.998667      
-0.743333       0.346       -2.25867        -0.998667      
-0.843333       0.446       -2.45867        -0.898667      
-1.34333        -0.754      -2.45867        -0.898667      
-1.44333        0.146       -2.45867        -0.998667      
-0.843333       0.446       -2.15867        -0.598667      
-0.743333       0.746       -1.85867        -0.798667      
-1.04333        -0.054      -2.35867        -0.898667      
-0.743333       0.746       -2.15867        -0.998667      
-1.24333        0.146       -2.35867        -0.998667      
-0.543333       0.646       -2.25867        -0.998667      
-0.843333       0.246       -2.35867        -0.998667      
1.15667     0.146       0.941333        0.201333       
0.556667        0.146       0.741333        0.301333       
1.05667     0.046       1.14133     0.301333       
-0.343333       -0.754      0.241333        0.101333       
0.656667        -0.254      0.841333        0.301333       
-0.143333       -0.254      0.741333        0.101333       
0.456667        0.246       0.941333        0.401333       
-0.943333       -0.654      -0.458667       -0.198667      
0.756667        -0.154      0.841333        0.101333       
-0.643333       -0.354      0.141333        0.201333       
-0.843333       -1.054      -0.258667       -0.198667      
0.0566667       -0.054      0.441333        0.301333       
0.156667        -0.854      0.241333        -0.198667      
0.256667        -0.154      0.941333        0.201333       
-0.243333       -0.154      -0.158667       0.101333       
0.856667        0.046       0.641333        0.201333       
-0.243333       -0.054      0.741333        0.301333       
-0.0433333      -0.354      0.341333        -0.198667      
0.356667        -0.854      0.741333        0.301333       
-0.243333       -0.554      0.141333        -0.0986667     
0.0566667       0.146       1.04133     0.601333       
0.256667        -0.254      0.241333        0.101333       
0.456667        -0.554      1.14133     0.301333       
0.256667        -0.254      0.941333        0.00133333     
0.556667        -0.154      0.541333        0.101333       
0.756667        -0.054      0.641333        0.201333       
0.956667        -0.254      1.04133     0.201333       
0.856667        -0.054      1.24133     0.501333       
0.156667        -0.154      0.741333        0.301333       
-0.143333       -0.454      -0.258667       -0.198667      
-0.343333       -0.654      0.0413333       -0.0986667     
-0.343333       -0.654      -0.0586667      -0.198667      
-0.0433333      -0.354      0.141333        0.00133333     
0.156667        -0.354      1.34133     0.401333       
-0.443333       -0.054      0.741333        0.301333       
0.156667        0.346       0.741333        0.401333       
0.856667        0.046       0.941333        0.301333       
0.456667        -0.754      0.641333        0.101333       
-0.243333       -0.054      0.341333        0.101333       
-0.343333       -0.554      0.241333        0.101333       
-0.343333       -0.454      0.641333        0.00133333     
0.256667        -0.054      0.841333        0.201333       
-0.0433333      -0.454      0.241333        0.00133333     
-0.843333       -0.754      -0.458667       -0.198667      
-0.243333       -0.354      0.441333        0.101333       
-0.143333       -0.054      0.441333        0.00133333     
-0.143333       -0.154      0.441333        0.101333       
0.356667        -0.154      0.541333        0.101333       
-0.743333       -0.554      -0.758667       -0.0986667     
-0.143333       -0.254      0.341333        0.101333       
0.456667        0.246       2.24133     1.30133    
-0.0433333      -0.354      1.34133     0.701333       
1.25667     -0.054      2.14133     0.901333       
0.456667        -0.154      1.84133     0.601333       
0.656667        -0.054      2.04133     1.00133    
1.75667     -0.054      2.84133     0.901333       
-0.943333       -0.554      0.741333        0.501333       
1.45667     -0.154      2.54133     0.601333       
0.856667        -0.554      2.04133     0.601333       
1.35667     0.546       2.34133     1.30133    
0.656667        0.146       1.34133     0.801333       
0.556667        -0.354      1.54133     0.701333       
0.956667        -0.054      1.74133     0.901333       
-0.143333       -0.554      1.24133     0.801333       
-0.0433333      -0.254      1.34133     1.20133    
0.556667        0.146       1.54133     1.10133    
0.656667        -0.054      1.74133     0.601333       
1.85667     0.746       2.94133     1.00133    
1.85667     -0.454      3.14133     1.10133    
0.156667        -0.854      1.24133     0.301333       
1.05667     0.146       1.94133     1.10133    
-0.243333       -0.254      1.14133     0.801333       
1.85667     -0.254      2.94133     0.801333       
0.456667        -0.354      1.14133     0.601333       
0.856667        0.246       1.94133     0.901333       
1.35667     0.146       2.24133     0.601333       
0.356667        -0.254      1.04133     0.601333       
0.256667        -0.054      1.14133     0.601333       
0.556667        -0.254      1.84133     0.901333       
1.35667     -0.054      2.04133     0.401333       
1.55667     -0.254      2.34133     0.701333       
2.05667     0.746       2.64133     0.801333       
0.556667        -0.254      1.84133     1.00133    
0.456667        -0.254      1.34133     0.301333       
0.256667        -0.454      1.84133     0.201333       
1.85667     -0.054      2.34133     1.10133    
0.456667        0.346       1.84133     1.20133    
0.556667        0.046       1.74133     0.601333       
0.156667        -0.054      1.04133     0.601333       
1.05667     0.046       1.64133     0.901333       
0.856667        0.046       1.84133     1.20133    
1.05667     0.046       1.34133     1.10133    
-0.0433333      -0.354      1.34133     0.701333       
0.956667        0.146       2.14133     1.10133    
0.856667        0.246       1.94133     1.30133    
0.856667        -0.054      1.44133     1.10133    
0.456667        -0.554      1.24133     0.701333       
0.656667        -0.054      1.44133     0.801333       
0.356667        0.346       1.64133     1.10133    
0.0566667       -0.054      1.34133     0.601333       

2.计算B的协方差矩阵C:

0.685694        -0.0392685      1.27368     0.516904       
-0.0392685      0.188004        -0.321713       -0.117981      
1.27368     -0.321713       3.11318     1.29639    
0.516904        -0.117981       1.29639     0.582414    

3.计算协方差矩阵C的特征值和特征向量。

主成分分析

4.选取大的特征值对应的特征向量,得到新的数据集。

主成分分析

2.8271335      5.6413345     
2.7959501      5.1451715     
2.6215213      5.1773814     
2.7649037      5.0036022     
2.7827477      5.648651      
3.2314432      6.0625092     
2.6904502      5.2326213     
2.8848587      5.4851323     
2.6233824      4.7439288     
2.837496       5.2080359     
3.0048137      5.9666624     
2.898198       5.3362466     
2.7239067      5.0869876     
2.2861405      4.8114466     
2.867797       6.5009233     
3.127471       6.6594805     
2.8888143      6.132817      
2.8630179      5.633864      
3.3122624      6.1939719     
2.9239945      5.8351996     
3.2008088      5.7125959     
2.9681058      5.7547583     
2.2954831      5.4563413     
3.2082122      5.4202505     
3.1551697      5.2835156     
3.0034234      5.1756719     
3.0422848      5.4526144     
2.9489496      5.6894119     
2.8715193      5.634018      
2.8784929      5.1246505     
2.9228787      5.117334      
3.1012632      5.7328089     
2.8637038      6.1347075     
2.9141809      6.4147479     
2.837496       5.2080359     
2.6443408      5.3919215     
2.8861119      5.921529      
2.837496       5.2080359     
2.5294983      4.8344766     
2.9210176      5.5507867     
2.7412018      5.5857866     
2.6591299      4.3818646     
2.5130445      4.9804183     
3.1058267      5.5106443     
3.3025077      5.7574212     
2.7956756      5.0720467     
2.9737672      5.8250931     
2.6710196      5.0941501     
2.9686547      5.901008      
2.8074283      5.4297384     
6.7961349      6.0001695     
6.4437514      5.6339266     
6.9754017      5.8189198     
5.6923082      4.4891254     
6.5984751      5.3901207     
6.1517776      4.8974035     
6.6065644      5.5986187     
4.759874       4.3136202     
6.5546382      5.5436868     
5.5011511      4.5941521     
5.0002549      4.0522372     
6.0224389      5.2124439     
5.7736764      4.7668379     
6.4953853      5.1903675     
5.3364769      5.0629127     
6.4389134      5.7829664     
6.1709338      4.9627499     
5.7458813      4.9828064     
6.4537025      4.7729094     
5.5545872      4.7332394     
6.6275817      5.2305124     
5.8681272      5.2479059     
6.8078095      4.9871684     
6.4318433      5.1323376     
6.2253487      5.465109      
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