Hash
简要说明
- \(OI\)中一般采用进制\(hash\).模数可以用\(unsigned \ long \ long\)自然溢出,也可以使用大质数.值得一提的是,\(unsigned\ long\ long\)的优点是好写,不用取模,缺点是可能会被良心出题人卡.如果为了万无一失,可以写双模数\(hash\),这个东西在绝大多数情况下可以保证正确性(参见Hash Killer III).
- 关于进制\(hash\)两个最基础的东西:
\(Hash[0]=0.Hash[i]=Hash[i]*Base+s[i]\ for\ i>0.\)
\(hash(l,r)=Hash[r]-Hash[l-1]*Base^{r-l+1}.\)
- 如果两个字符串按照如上算法得出的\(hash\)值相等,我们认为这两个字符串是相同的.
- 下面是最近整理的关于\(hash\)的一些基础题.
题目
子串查找
- 题意:给两个字符串\(a,b\),询问\(b\)在\(a\)的几个位置出现过.
- 此题用\(hash\)做的话,只需求出字符串\(b\)的\(hash\)值,在字符串\(a\)中\(O(n)\)枚举每个长度等于\(|b|\)的子串,判断\(hash\)值是否相等即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=1e6+10;
typedef unsigned long long ull;
const ull Base=233;
ull Hash[MAXN],Pow[MAXN];
char a[MAXN],b[MAXN];
int n,m;
// Hash[i]=Hash[i-1]*Base+val[i].
inline ull calchash(int l,int len)//l to l+len-1
{
return Hash[l+len-1]-Hash[l-1]*Pow[len];
}
int main()
{
scanf("%s%s",a+1,b+1);
n=strlen(a+1);
m=strlen(b+1);
ull hashb=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
hashb=hashb*Base+(ull)b[i];
Pow[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
Hash[i]=Hash[i-1]*Base+a[i];
Pow[i]=Pow[i-1]*Base;
}
int ans=0;
for(int i=1;i+m-1<=n;++i)
if(calchash(i,m)==hashb)
++ans;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
图书管理
- 题意:你需要维护一个字符串集合,支持插入字符串和询问一个字符串是否在其中.
- 将每个字符串通过计算\(hash\)转化为整数,开一个桶记录是否出现过即可.
#include
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int Base=233;
const int P1=19260817,P2=999983;
bool Hashmap1[P1+10],Hashmap2[P2+10];
char buf[300];
int main()
{
int n=read();
while(n--)
{
char op[5];
scanf("%s",op);
if(op[0]=='a')
{
scanf("%s",buf);
int len=strlen(buf),hash1=0,hash2=0;
for(int i=0;i
Power Strings
- 题意:求一个字符串的最短循环节长度.
- 暴力枚举循环节长度,对于每个可以整除总长度的循环节长度,依次算出每段的\(hash\)值,若全部相等,说明这是一个合法的循环节.
- 这样枚举的时间复杂度为\(O(n\cdot lnn)\),因为这是一个调和级数,函数\(lnx\)与它是共犯.
- 此题还可用\(fail(next)\)数组计算.最小循环节长度为\(\frac{n}{n-fail[n]}\),若其为整数.否则为\(|S|\).
- 后面还有一个相似的题,所以此题并没有代码.
Seek the Name, Seek the Fame
- 题意:找出一个字符串中既是前缀又是后缀的子串的所有长度.
- 此题使用\(hash\)十分简单,直接枚举每个前缀,与长度相等的后缀比较即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=4e5+10;
typedef unsigned long long ull;
const ull Base=233;
ull Hash[MAXN],Pow[MAXN+10];
int n;
char s[MAXN];
int ans[MAXN];
inline ull calchash(int l,int r)
{
if(l==0)
return Hash[r];
return (Hash[r]-Hash[l-1]*Pow[r-l+1]);
}
int main()
{
Pow[0]=1;
for(int i=1;i<=MAXN;++i)
Pow[i]=Pow[i-1]*Base;
while(~scanf("%s",s))
{
n=strlen(s);
Hash[0]=s[0];
for(int i=1;i=1;--i)
printf("%d ",ans[i]);
puts("");
}
return 0;
}
三个朋友
- 现在有一个字符串\(U\),是由\(S\)复制一次自身拼接后,再插入一个字符得到的.给出\(U\),若\(S\)唯一存在,求出\(S\),否则输出不存在或有多个.
- 做法十分暴力.直接枚举是插入的哪一个字符.然后通过进制\(hash\)良好的运算能力求出两侧的\(hash\)值比较即可.注意细节的实现.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=2e6+10;
typedef unsigned long long ull;
const ull Base=233;
ull Hash[MAXN],Pow[MAXN+10];
int n;
char s[MAXN];
inline ull calchash(int l,int r)
{
if(l>r)
return 0;
return (Hash[r]-Hash[l-1]*Pow[r-l+1]);
}
inline ull mergehash(ull hash1,ull hash2,int len)
{
return hash1*Pow[len]+hash2;
}
int main()
{
n=read();
scanf("%s",s+1);
if(n%2==0)
{
puts("NOT POSSIBLE");
return 0;
}
Pow[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
Pow[i]=Pow[i-1]*Base;
Hash[0]=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
Hash[i]=Hash[i-1]*Base+s[i];
int cnt=0,cutpos;
ull res=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
ull hashpre,hashsuf;
if(i<=n/2)
hashpre=Hash[n/2+1]+(Hash[i-1]-Hash[i])*Pow[n/2-i+1];
else
hashpre=Hash[n/2];
if(i<=n/2+1)
hashsuf=Hash[n]-Hash[n/2+1]*Pow[n/2];
else
hashsuf=(Hash[i-1]-Hash[n/2]*Pow[i-n/2-1])*Pow[n-i]+Hash[n]-Hash[i]*Pow[n-i];
if(hashpre==hashsuf)
{
++cnt;
if(res && hashpre!=res)
{
puts("NOT UNIQUE");
return 0;
}
res=hashpre;
cutpos=i;
}
}
if(!cnt)
puts("NOT POSSIBLE");
else
{
if(cutpos>n/2)
{
for(int i=1;i<=n/2;++i)
printf("%c",s[i]);
}
else
{
for(int i=1;i<=n/2+1;++i)
if(i!=cutpos)
printf("%c",s[i]);
}
puts("");
}
return 0;
}
A Horrible Poem
- 题意:给定一个字符串\(S\),询问若干次,每次询问\(S\)某个子串的最短循环节.
- 此题和\(Power\ Strings\)类似,但要询问子串的答案多次.
- 考虑\(kmp\)的做法,计算\(fail\)其实只需检验最长前后缀公共长度.
- 用\(hash\)判断,每次枚举这个子串长度的质因数进行检验.若\(d\)不是循环节长度,显然\(kd(k\in \mathbb{N_+})\)也不可能是循环节长度.可以作为一个小优化.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=5e5+10;
typedef unsigned long long ull;
const ull Base=233;
ull Hash[MAXN],Pow[MAXN];
int ism[MAXN],prime[MAXN],cnt=0;
int mindiv[MAXN];
int n,q;
char s[MAXN];
void LinearShake()
{
for(int i=2; i<=MAXN-10; ++i)
{
if(!ism[i])
{
prime[++cnt]=i;
mindiv[i]=i;
}
for(int j=1; j<=cnt; ++j)
{
if(prime[j]*i>MAXN)
break;
ism[prime[j]*i]=1;
mindiv[i*prime[j]]=prime[j];
if(i%prime[j]==0)
break;
}
}
}
inline ull calchash(int l,int r)
{
return Hash[r]-Hash[l-1]*Pow[r-l+1];
}
inline int judge(int l,int r,int len)
{
return (calchash(l,l+len-1)==calchash(r+1-len,r));
}
int main()
{
n=read();
scanf("%s",s+1);
Pow[0]=1;
Hash[0]=0;
for(int i=1; i<=n; ++i)
Hash[i]=Hash[i-1]*Base+s[i],Pow[i]=Pow[i-1]*Base;
LinearShake();
q=read();
while(q--)
{
int l=read(),r=read();
int val=r-l+1,cur=r-l+1;
while(val!=1)
{
if(judge(l,r,r-l+1-cur/mindiv[val]))
cur/=mindiv[val];
val/=mindiv[val];
}
printf("%d\n",cur);
}
return 0;
}
Beads
题意:求一个串的最大循环节数目,这里规定最后一段不足循环节长度的段可以舍弃,并且段可以反转,即\(123\)和\(321\)被视作等价.
显然只需要正着反着处理两个\(hash\)值,由于可以舍去最后一段,所以我们不使用计算\(fail\)的办法,而是\(O(n\cdot lnn)\)暴力枚举即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=2e5+10;
typedef unsigned long long ull;
const ull P=98754321,Base=2333;
map Hash;
ull prehash[MAXN],sufhash[MAXN];
ull Pow[MAXN];
int ans[MAXN],tp=0;
int res[MAXN];
int n,maxx=0;
int s[MAXN];
int main()
{
n=read();
Pow[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
s[i]=read();
Pow[i]=Pow[i-1]*Base%P;
prehash[i]=(prehash[i-1]*Base+s[i])%P;
}
for(int i=n;i;--i)
sufhash[i]=(sufhash[i+1]*Base+s[i])%P;
for(int i=1;i*maxx<=n;++i)
{
Hash.clear();
for(int j=1;j+i-1<=n;j+=i)
{
int l=j,r=j+i-1;
ull pre=(prehash[r]-prehash[l-1]*Pow[r-l+1]%P+P)%P;
ull suf=(sufhash[l]-sufhash[r+1]*Pow[r-l+1]%P+P)%P;
if(!Hash.count(pre) || !Hash.count(suf))
{
++res[i];
Hash[pre]=1;
Hash[suf]=1;
}
}
if(res[i]>maxx)
maxx=res[i],tp=0;
if(res[i]==maxx)
ans[++tp]=i;
}
printf("%d %d\n",maxx,tp);
for(int i=1;i<=tp;i++)
printf("%d ",ans[i]);
puts("");
return 0;
}
Antisymmetry
题意:定义反对称串是指满足取反后再前后翻转,恰好与原串相同的\(01\)串.现在给定一个\(01\)串,求出它的子串中反对称串的个数.
- 不难发现,一个反对称串长度一定为偶数,且后半段取反后形成回文串.
- 枚举每个位置作为对称中心,只用二分找出最大的半径长度.每次去掉两端的数后仍为反对称串,这个对称中心形成的共有半径长度个反对称串.
检验时比较前半段\(hash\)值和后半段取反且逆向维护的\(hash\)值即可.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=5e5+10;
int n;
char s[MAXN];
typedef unsigned long long ull;
const ull Base=233;
ull Hash[MAXN],Pow[MAXN],revHash[MAXN];
LoveLive ans=0;
ull calchash(int l,int r,int type)
{
if(!type)
return Hash[r]-Hash[l-1]*Pow[r-l+1];
else
return revHash[l]-revHash[r+1]*Pow[r-l+1];
}
LoveLive solve(int x)
{
int l=1,r=min(x,n-x);
int res=0;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(calchash(x-mid+1,x,0)==calchash(x+1,x+mid,1))
res=mid,l=mid+1;
else
r=mid-1;
}
return 1LL*res;
}
int main()
{
n=read();
scanf("%s",s+1);
Pow[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
Pow[i]=Pow[i-1]*Base;
Hash[i]=Hash[i-1]*Base+('1'-s[i]);
}
for(int i=n;i>=1;--i)
revHash[i]=revHash[i+1]*Base+(('1'-s[i])^1);
for(int i=1;i<=n;++i)
ans+=solve(i);
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
门票
- 题意:给定一个一阶线性递推关系的数列,求出前\(2e6\)项中是否出现了循环.若有,输出开始循环的位置.数列中元素\(\leq 1e9\).内存限制\(4M\).
- 比较直接的想法是开\(map\)水过去,但大概率会\(TLE\),且超过了空间限制.
- 做法是\(hash\),将出现过的元素模上大质数后记录.但这样直接压缩,显然极容易造成\(hash\)冲突.一个简单的办法是模两个大质数,双\(hash\)即可解决问题.
- 另一个做法是离线,将前\(2e6\)个数全部算出来,离散化后处理.这样做每次都是严格\(O(2e6\cdot log(2e6))\)的,可能会被卡常.但优点是有绝对严谨的正确性保证.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int P1=100049,P2=490001;
int vis[P2+10][2];
const int MAXT=2e6;
int a,b,c;
LoveLive A,B,C;
void solve()
{
LoveLive res=1;
vis[1][0]=vis[1][1]=-1;
for(register int i=1;i<=MAXT;++i)
{
res=(A*res+res%B)%C;
assert(res>=0);
if(vis[res%P1][0]!=0 && vis[res%P1][0]==vis[res%P2][1])
{
printf("%d\n",i);
return;
}
if(!vis[res%P1][0])
vis[res%P1][0]=i;
if(!vis[res%P2][1])
vis[res%P2][1]=i;
}
puts("-1");
}
int main()
{
a=read(),b=read(),c=read();
A=a,B=b,C=c;
solve();
return 0;
}
收集雪花
- 题意:给\(n\)个数,求区间内数字都不重复的最大区间长度.元素大小\(\leq 1e9\),\(n \leq 1e6\).
- 数据结构学多了使人变傻.
- 首先需要离散化或\(hash\),将值域控制在\(1e6\)的级别.
- 然后,若直接上主席树,每次二分答案,枚举左端点,是\(O(nlog^2n)\)的,十分弱智.
- 优秀的做法是\(Two\ Pointers.\)维护两个指针\(l,r\),不断往后跳,同时用类似于莫队的方法维护当前区间内颜色种类数目.合法时更新答案.
- 这样每个指针最多跳\(n\)次,一共跳\(2n\)次,相当优秀.
#include"bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long LoveLive;
inline int read()
{
int out=0,fh=1;
char jp=getchar();
while ((jp>'9'||jp='0'&&jp<='9')
{
out=out*10+jp-'0';
jp=getchar();
}
return out*fh;
}
const int MAXN=1e6+10;
int n,x[MAXN],y[MAXN];
int cnt;
int t[MAXN];
int cols=0;
inline void ins(int pos)
{
++t[x[pos]];
if(t[x[pos]]==1)
++cols;
}
inline void del(int pos)
{
--t[x[pos]];
if(t[x[pos]]==0)
--cols;
}
int ans=0;
int main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)
y[i]=x[i]=read();
sort(y+1,y+1+n);
cnt=unique(y+1,y+1+n)-(y+1);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
x[i]=lower_bound(y+1,y+1+cnt,x[i])-y;
}
int l=1,r=1;
for(;r<=n;++r)
{
ins(r);
while(l<=r && (cols!=r-l+1))
del(l++);
if(cols==r-l+1)
ans=max(ans,r-l+1);
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
小结
- 字符串 \(Hash\) 在 \(OI\) 中十分优秀,尤其是进制 \(Hash\) .通过 \(Hash\) ,我们可以将字符串比较是否相等的 \(O(n)\) 降至 \(O(1)\) ,这样以来,许多十分暴力的思想/做法也可以通过.
- 离散化也可以算作是 \(Hash\) 的一种,不过在转化的同时还要保证大小关系.