数据结构与算法（二）

函数的渐近增长：给定两个函数 f(n) 和 g(n) ，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N,f(n)总是比g(n)大，那么我们说f(n)的增长渐近快于g(n)
如图

算法时间复杂度的定义：在进行时间算法分析时，语句总的执行次数T(n) 是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间度量，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

它定性描述了该算法的运行时间，其作用： 时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量

这样用O()来体现时间复杂度的计法我们称之为大O记法。

一般情况下随着输入规模的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法

如何分析一个算法的时间复杂度：

		1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数
		2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
		3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数
		4、最后得到的结果就是大O阶

例1 常数阶：下列算法的时间复杂度为O(1) 而不是O(8)

int sum = 0,n = 100;
printf("数据结构与算法之时间复杂度")；
printf("数据结构与算法之时间复杂度")；
printf("数据结构与算法之时间复杂度")；
printf("数据结构与算法之时间复杂度")；
printf("数据结构与算法之时间复杂度")；
printf("数据结构与算法之时间复杂度")；
sum = (1+n)*n/2;

例2 线性阶：下列含单个循环体算法的时间复杂度为O(n)

int i,n=100, sum=0;
for(i=0; i<n; i++)
{
	sum=sum+i;
}

所以嵌套循环体算法的时间复杂度为O(n×n×n······)（将嵌套的循环次数相乘）

例3 平方阶：下列嵌套循环算法的时间复杂度为O(n^2)

int i,j,n=100;
for(i=0;i<n;i++)
{
	for(j=i;j<n;j++)
	{
		printf("数据结构与算法")；
	}
}

其大O阶位n的累加方程只保留最高次项，去除与这个项相乘的常数，得n²。

例3 对数阶：下列循环的时间复杂度位O(logn).（此处log以2为底）

int i=1,n=100;
while(i<n)
{
	i=i*2;
}

解：2^x=n => x=log(2)n

有多组循环语句则以循环次数最多的循环语句的循环次数来衡量时间复杂度。

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n³) < O(2ⁿ) < O(n!) < O(nⁿ)

平均运行时间是期望的运行时间

最坏运行时间是一种保证。在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

算法空间复杂度

算法的空间复杂度通过计算算法所需要的存储空间实现，算法的空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占的存储空间的函数。

通常我们用“时间复杂度”来指运行时间的需求，用“空间复杂度”来指空间需求。

当直接要求我们求“复杂度”时，通常指的是“时间复杂度”。