容斥原理解释
容斥原理各种地方各种解释,又是画图又是举例,但是我单单觉得百度百科解释的很好!
容斥原理:在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
对于实际问题的应用
容斥原理的理论需要通过例子才能很好的理解。
首先,我们用三个简单的例子来阐释这个理论。然后会讨论一些复杂问题,试看如何用容斥原理来解决它们。
其中的“寻找路径数”是一个特殊的例子,它反映了容斥问题有时可以在多项式级复杂度内解决,不一定需要指数级。
一个简单的排列问题
由0到9的数字组成排列,要求第一个数大于1,最后一个数小于8,一共有多少种排列?
我们可以来计算它的逆问题,即第一个元素<=1或者最后一个元素>=8的情况。
我们设第一个元素<=1时有X组排列,最后一个元素>=8时有Y组排列。那么通过容斥原理来解决就可以写成:
经过简单的组合运算,我们得到了结果:
然后被总的排列数10!减,就是最终的答案了。
(0,1,2)序列问题
长度为n的由数字0,1,2组成的序列,要求每个数字至少出现1次,这样的序列有多少种?
同样的,我们转向它的逆问题。也就是不出现这些数字的序列 不出现其中某些数字的序列。
我们定义Ai(i=0…2)表示不出现数字i的序列数,那么由容斥原理,我们得到该逆问题的结果为:
可以发现每个Ai的值都为2^n(因为这些序列中只能包含两种数字)。而所有的两两组合都为1(它们只包含1种数字)。最后,三个集合的交集为0。(因为它不包含数字,所以不存在)
要记得我们解决的是它的逆问题,所以要用总数减掉,得到最终结果:
方程整数解问题
给出一个方程:
其中。
求这个方程的整数解有多少组。
我们先不去理会xi<=8的条件,来考虑所有正整数解的情况。这个很容易用组合数来求解,我们要把20个元素分成6组,也就是添加5块“夹板”,然后在25个位置中找5块“夹板”的位置。
然后通过容斥原理来讨论它的逆问题,也就是x>=9时的解。
我们定义Ak为xk>=9并且其他xi>=0时的集合,同样我们用上面的添加“夹板”法来计算Ak的大小,因为有9个位置已经被xk所利用了,所以:
然后计算两个这样的集合Ak、Ap的交集:
因为所有x的和不能超过20,所以三个或三个以上这样的集合时是不能同时出现的,它们的交集都为0。最后我们用总数剪掉用容斥原理所求逆问题的答案,就得到了最终结果:
求指定区间内与n互素的数的个数:
给出整数n和r。求区间[1;r]中与n互素的数的个数。
去解决它的逆问题,求不与n互素的数的个数。
考虑n的所有素因子pi(i=1…k)
在[1;r]中有多少数能被pi整除呢?它就是:
然而,如果我们单纯将所有结果相加,会得到错误答案。有些数可能被统计多次(被好几个素因子整除)。所以,我们要运用容斥原理来解决。
我们可以用2^k的算法求出所有的pi组合,然后计算每种组合的pi乘积,通过容斥原理来对结果进行加减处理。
关于此问题的最终实现:
int solve (int n, int r) {
vector<int> p;
for (int i=2; i*i<=n; ++i)
if (n % i == 0) {
p.push_back (i);
while (n % i == 0)
n /= i;
}
if (n > 1)
p.push_back (n);
int sum = 0;
for (int msk=1; msk<(1<<p.size()); ++msk) {
int mult = 1,
bits = 0;
for (int i=0; i<(int)p.size(); ++i)
if (msk & (1<<i)) {
++bits;
mult *= p[i];
}
int cur = r / mult;
if (bits % 2 == 1)
sum += cur;
else
sum -= cur;
}
return r - sum;
}
上一篇: ListView条目显示不全